Задача 77633 ...

64383669a663f82933efeaae

5/25/2024 3:25:18 PM

Пусть стрелок имеет n патронов и стреляет по мишени до первого попадания,
причем вероятность попадания при одном выстреле равна p. Пусть ξ есть
количеством израсходованных патронов. Найти распределение случайной величины ξ и
вычислить Mξ и Dξ. Рассмотреть случай n → +∞

5f3ea7e3faf909182968ddd9

5/26/2024 5:47:32 AM

★

Случайная величина ξ - [i]количество [/i]израсходованных патронов может принимать значения

1; 2; 3; 4;... ; n

ξ =1
Значит попадание c первого раза с вероятностью

p_(1)=p


ξ =2
Значит попадание cо второго раза с вероятностью

p_(2)=(1-p)*p ( первый раз промах с вероятностью (1-р))

ξ =3
Значит, два промаха и с третьей попытки попадание

p_(3)=(1-р)*(1-р)*р


ξ =n
Значит (n-1) раз промахи и с последней n-ой попытки попадание или опять промах ( патроны закончились)

p_(n)=(1-p)^(n-1)*p+(1-p)^(n)

Закон распределения - таблица, в первой строке значения случайной величины, во второй строке - вероятности
[b]причем[/b]
p_(1)+p_(2)+p_(3)+...+p_(n)=1


По определению математическое ожидание

M(X)=1·p_(1)+2·p_(2)+3·p_(3)+...+n·p_(n)


Дисперсию вычисляем по формуле:

D(X)=M(X^2)–(M(X))^2


M(X^2)=1^2·p_(1)+2^2·p_(2)+3^2·p_(3)+...+n^2·p_(n)


D(X)=M(X^2)–(M(X))^2=1^2·p_(1)+2^2·p_(2)+3^2·p_(3)+...+n^2·p_(n)-(1·p_(1)+2·p_(2)+3·p_(3)+...+n·p_(n))^2