Задача 77631 Практическая работа № 5 Пределы числовых...
Условие
Пределы числовых последовательностей
28 Вариант
1. Докажите следующее равенство пределов числовых последовательностей
[m]
\lim_{{n \to \infty}} \frac{2 + 3n^2}{n^2} = 3
[/m]
[m]
\lim_{{n \to \infty}} \frac{(4 + n)}{(1 + n)} \neq 0
[/m]
2. Вычислите пределы числовых последовательностей
[m]
\lim_{{n \to \infty}} \frac{\sqrt{n^2 + 3 + n^2}}{\sqrt{n^2 + 2n + 1 - n^2}}
[/m]
[m]
\lim_{{n \to \infty}} \frac{10n^3 - \sqrt{n^3 + 2}}{\sqrt{4n^6 + 3 - n}}
[/m]
Решение
Делим числитель и знаменатель на n^2:
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{2+3n^2}{n^2} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{2/n^2+3}{1} = \frac{0+3}{1} = 3[/m]
При n → oo дробь 2/n^2 → 0
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{4+n}{1+n}[/m]
Делим числитель и знаменатель на n:
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{4+n}{1+n} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{4/n+1}{1/n+1} = \frac{0+1}{0+1} = 1 ≠ 0[/m]
2) [m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt[4]{n^2+3} + n^2}{\sqrt[4]{n^{12}+2n+1}-n^2}=\lim \limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n} + n^2}{n^3-n^2} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{1/n^{2,5} + 1/n}{1-1/n} =\frac{0 + 0}{1-0} = 0[/m]
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{10n^3 - \sqrt{n^3+2}}{\sqrt{4n^6+3}-n}[/m]
Умножаем числитель и знаменатель на сумму корней чтобы получилась разность квадратов:
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{(10n^3 - \sqrt{n^3+2})(10n^3 + \sqrt{n^3+2})(\sqrt{4n^6+3}+n)}{(\sqrt{4n^6+3}-n)(10n^3 + \sqrt{n^3+2})(\sqrt{4n^6+3}+n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(100n^6 - n^3-2)(\sqrt{4n^6+3}+n)}{(4n^6+3-n^2)(10n^3 + \sqrt{n^3+2})} = [/m]
[m]=\lim \limits_{n \to \infty} \frac{(100n^6 - n^3-2)}{(4n^6+3-n^2)} \cdot \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{4n^6+3}+n)}{(10n^3 + \sqrt{n^3+2})} =\lim \limits_{n \to \infty} \frac{(100 - 1/n^3-2/n^6)}{(4+3/n^6-1/n^4)} \cdot \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(2n^3+n)}{(10n^3 + n^{3/2})} =[/m]
[m]= \frac{100}{4} \cdot \frac{2}{10} = 25 \cdot \frac{1}{5} = 5[/m]