Задача 77630 ...
Условие
Пределы функций
28 Вариант
4. Используя логические символы (как в краткой записи определения предела) запишите утверждение
lim f(x) = 1
x→0
5. Докажите предел функции используя определение на языке «ε-δ»
lim(3x − 2x) = 4
x→4
6. Найдите пределы функций
lim (2x³−2x²+6)/(x²+2)
x→1
lim (4x²−2)/x⁴
x→0
lim (x⁴−25)/x²−5
x→√5
lim (1+x⁷+7x¹³)³/(1+x⁴)¹⁰
x→∞
Решение
Для любого ε > 0 существует такое δ > 0, δ зависит от ε, что истинно утверждение:
Если модуль |x - x0| меньше δ, то модуль |f(x) - a| меньше ε.
В символах это выглядит так, при x0 = +0 и предел функции a = 1:
[m]∀ ε > 0\ \ ∃ δ = δ(ε) > 0, ∀ x : (|x| < δ) ⇒ (|f(x) - 1| < ε) [/m]
5) [m]\lim \limits_{x \to 4} (3x - 2x) = 4[/m]
По определению предела функции в точке:
[m]∀ ε > 0\ \ ∃ δ = δ(ε) > 0, ∀ x : (0 < |x - 4| < δ) ⇒ (|3x - 2x - 4| < ε) [/m]
Доказательство.
Пусть |x - 4| < δ, значит, 4 - δ < x < 4 + δ, тогда функцию 3x - 2x можно оценить:
{ 3x - 2x > 3(4 - δ) - 2(4 - δ)
{ 3x - 2x < 3(4 + δ) - 2(4 + δ)
Раскрываем скобки:
{ 3x - 2x > 12 - 3δ - 8 + 2δ
{ 3x - 2x < 12 + 3δ - 8 - 2δ
Приводим подобные:
{ 3x - 2x > 4 - δ
{ 3x - 2x < 4 + δ
Взяв ε = δ, получаем:
{ 3x - 2x > 4 - ε
{ 3x - 2x < 4 + ε
Или, иначе говоря:
-ε < 3x - 2x - 4 < ε
|3x - 2x - 4| < ε
По определению предела это и значит, что предел функции f(x) = 3x - 2x равен 4.
Что и требовалось доказать.
6) [m]\lim \limits_{x \to 1} \frac{2x^3-2x^2+6}{x^2+2} = \frac{2 \cdot 1^3-2 \cdot 1^2+6}{1^2+2} = \frac{2-2+6}{1+2} = \frac{6}{3} = 2[/m]
[m]\lim \limits_{x \to 0} \frac{4x^2-2}{x^4} = \frac{4 \cdot 0^2-2 }{0^4} = \frac{0-2}{0} = -\infty[/m]
[m]\lim \limits_{x \to \sqrt{5}} \frac{x^4-25}{x^2-5} = \lim \limits_{x \to \sqrt{5}} \frac{(x^2-5)(x^2+5)}{x^2-5} = \lim \limits_{x \to \sqrt{5}} \frac{(x^2+5)}{1}= \frac{5+5}{1} = 10[/m]
[m]\lim \limits_{x \to \infty} \frac{(1+x^{11} - 7x^{13})^3}{(1+x^4)^{10}} [/m]
Если раскрыть скобки, то в числителе и в знаменателе получатся многочлены от x.
Их можно записать как:
(1+x^{11} - 7x^{13})^3 = k(x) - 7^3*(x^(13))^3 = k(x) - 343*x^(39)
Здесь k(x) - какой-то многочлен степени ниже, чем 39.
(1+x^4)^10 = m(x) + (x^4)^(10) = m(x) + x^(40)
Здесь m(x) - какой-то многочлен степени ниже, чем 40.
[m]\lim \limits_{x \to \infty} \frac{(1+x^{11} - 7x^{13})^3}{(1+x^4)^{10}} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{k(x)-343x^{39}}{m(x) + x^{40}} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{k(x)/x^{40}-343/x}{m(x)/x^{40} + 1} = \frac{0-0}{0 + 1} = 0[/m]