Задача 77630 ...

649c62f0b729e86fbf530d0c

25 мая 2024 г. в 11:54

Практическая работа № 6
Пределы функций
28 Вариант

4. Используя логические символы (как в краткой записи определения предела) запишите утверждение

lim f(x) = 1
x→0

5. Докажите предел функции используя определение на языке «ε–δ»

lim(3x − 2x) = 4
x→4

6. Найдите пределы функций

lim (2x³−2x²+6)/(x²+2)
x→1

lim (4x²−2)/x⁴
x→0

lim (x⁴−25)/x²−5
x→√5

lim (1+x⁷+7x¹³)³/(1+x⁴)¹⁰
x→∞

626fab9a354ab65fb2f43abb

25 мая 2024 г. в 06:23

★

4)Определение предела функции в точке.
Для любого ε > 0 существует такое δ > 0, δ зависит от ε, что истинно утверждение:
Если модуль |x – x0| меньше δ, то модуль |f(x) – a| меньше ε.
В символах это выглядит так, при x0 = +0 и предел функции a = 1:
[m]∀ ε > 0\ \ ∃ δ = δ(ε) > 0, ∀ x : (|x| < δ) ⇒ (|f(x) - 1| < ε) [/m]

5) [m]\lim \limits_{x \to 4} (3x - 2x) = 4[/m]
По определению предела функции в точке:
[m]∀ ε > 0\ \ ∃ δ = δ(ε) > 0, ∀ x : (0 < |x - 4| < δ) ⇒ (|3x - 2x - 4| < ε) [/m]
Доказательство.
Пусть |x – 4| < δ, значит, 4 – δ < x < 4 + δ, тогда функцию 3x – 2x можно оценить:
{ 3x – 2x > 3(4 – δ) – 2(4 – δ)
{ 3x – 2x < 3(4 + δ) – 2(4 + δ)
Раскрываем скобки:
{ 3x – 2x > 12 – 3δ – 8 + 2δ
{ 3x – 2x < 12 + 3δ – 8 – 2δ
Приводим подобные:
{ 3x – 2x > 4 – δ
{ 3x – 2x < 4 + δ
Взяв ε = δ, получаем:
{ 3x – 2x > 4 – ε
{ 3x – 2x < 4 + ε
Или, иначе говоря:
–ε < 3x – 2x – 4 < ε
|3x – 2x – 4| < ε
По определению предела это и значит, что предел функции f(x) = 3x – 2x равен 4.
Что и требовалось доказать.

6) [m]\lim \limits_{x \to 1} \frac{2x^3-2x^2+6}{x^2+2} = \frac{2 \cdot 1^3-2 \cdot 1^2+6}{1^2+2} = \frac{2-2+6}{1+2} = \frac{6}{3} = 2[/m]

[m]\lim \limits_{x \to 0} \frac{4x^2-2}{x^4} = \frac{4 \cdot 0^2-2 }{0^4} = \frac{0-2}{0} = -\infty[/m]

[m]\lim \limits_{x \to \sqrt{5}} \frac{x^4-25}{x^2-5} = \lim \limits_{x \to \sqrt{5}} \frac{(x^2-5)(x^2+5)}{x^2-5} = \lim \limits_{x \to \sqrt{5}} \frac{(x^2+5)}{1}= \frac{5+5}{1} = 10[/m]

[m]\lim \limits_{x \to \infty} \frac{(1+x^{11} - 7x^{13})^3}{(1+x^4)^{10}} [/m]
Если раскрыть скобки, то в числителе и в знаменателе получатся многочлены от x.
Их можно записать как:
(1+x^{11} – 7x^{13})³ = k(x) – 7³·(x¹³)³ = k(x) – 343·x³⁹
Здесь k(x) – какой–то многочлен степени ниже, чем 39.
(1+x⁴)¹0 = m(x) + (x⁴)¹⁰ = m(x) + x⁴⁰
Здесь m(x) – какой–то многочлен степени ниже, чем 40.
[m]\lim \limits_{x \to \infty} \frac{(1+x^{11} - 7x^{13})^3}{(1+x^4)^{10}} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{k(x)-343x^{39}}{m(x) + x^{40}} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{k(x)/x^{40}-343/x}{m(x)/x^{40} + 1} = \frac{0-0}{0 + 1} = 0[/m]