Задача 77593 Найти нули и особые точки функции [m]...

663059f11c8a9f386839038b

5/22/2024 4:47:43 PM

Найти нули и особые точки функции [m] f(z) [/m]. Определить порядок нулей и характер особых точек, включая [m] \infty [/m].

9.12.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

5/25/2024 5:48:26 AM

★

[m]f(z)=\frac{(z-2i)^4(z+2i)^4}{(z-2i)(z+2+2i)^4}[/m]


Нули функции f(z) совпадают с нулями числителя этой функции


(z^2+4)^2=0

z^2+4=0

z^2=-4

z_(1)=-2i; z_(2)=2i

z_(1)=-2i - [i] нуль четвертого порядка[/i]


В точке z_(2)=2i и знаменатель функции f(z) обращается в нуль..

Но существует предел

[m]lim_{z → 2i}f(z)=lim_{z →2i}\frac{(z-2i)^3(z+2i)^4}{(z+2+2i)^4}=0[/m]


Поэтому
z_(2)=2i -
[i]устранимая особая точка [/i] функции f(z)


Найдем нули знаменателя:

z+2+2i=0

z=-2-2i - нуль четвертого порядка знаменателя ⇒ функция f(z) имеет в точке z=-2-2i [i]полюс четвертого порядка
[/i]