Задача 77582 Найти общее решение дифференциального...

6568773dc78099272c83a924

5/21/2024 6:47:59 PM

Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го
порядка

5f282cfba9074b3a3bc0f013

5/21/2024 7:33:01 PM

★

Дано дифференциальное уравнение:
(1 + x^2) * y' - 2xy = (1 + x^2)^2

1. Приведем его к виду
y' + P(x)*y = Q(x).

Для этого разделим обе стороны уравнения на (1 + x^2):
y' - (2x / (1 + x^2)) * y = 1 + x^2.

2. Найдем интегрирующий множитель μ(x) = e^(∫P(x)dx).

В нашем случае P(x) = -2x / (1 + x^2). Вычислим ∫P(x)dx:
∫(-2x / (1 + x^2))dx = -∫(2x / (1 + x^2))dx = -ln(1 + x^2) = ln(1 + x^2)^(-1).

Следовательно, интегрирующий множитель:
μ(x) = e^(ln(1 + x^2)^(-1)) = (1 + x^2)^(-1).

3. Умножим обе стороны уравнения на интегрирующий множитель:
(1 / (1 + x^2)) * y' - (2x / ( (1 + x^2) * (1 + x^2) )) * y = (1 + x^2) / (1 + x^2)^(-1) = 1 / (1 + x^2) * (1 + x^2).

Это даст:
d/dx(y / (1 + x^2)) = 1.

4. Интегрируем обе стороны:
∫d(y / (1 + x^2)) = ∫1 dx.

Получаем:
y / (1 + x^2) = x + C, где C - произвольная константа интегрирования.

5. Умножим обе стороны на (1 + x^2):
y = (x + C) * (1 + x^2).

Ответ:
Общее решение дифференциального уравнения:
y = (x + C) * (1 + x^2), где C - произвольная константа.