Задача 77569 АВСD – тетраэд А(-6;5;3), B(0: 2 : -11)...

664ae4c2d54d295b1af257c0

5/20/2024 5:52:46 AM

АВСD – тетраэд А(-6;5;3), B(0: 2 : -11) C(7;4;-5) D(-1;-1;0). Найти длину
высоты DH.

66476dea82e8587d6f1aab76

5/20/2024 7:38:35 AM

★

Чтобы найти длину высоты DH в тетраэде ABCD, мы сначала найдём площадь основания ABC и затем объём тетраэда. Затем мы используем формулу объема тетраэда, чтобы найти длину высоты DH.

1. Найдём векторы AB и AC: AB = B - A = (0 - (-6); 2 - 5; -11 - 3) = (6; -3; -14) AC = C - A = (7 - (-6;); 4 - 5; -5 -3) = (13; -1; -8)

2. Вычислим векторное произведение AB и AC, чтобы найти площадь основания ABC: AB × AC = ((-3)(-8) - (-14)(-1); (-14)(13) - (6)(-8); (6)(-1) - (-3)(13)) = (24 - 14; -182 + 48; -6 + 39) = (10; -134; 33)

3. Площадь основания ABC равна половине длины векторного произведения: S_ABC = 0.5 × |AB × AC| = 0.5 × sqrt((10 × 2 + (-134) × 2 + 33 × 2)) = 0.5 × (sqrt(100 + 17956 + 1089)) = 0.5 × sqrt((19145)) ≈ 0.5 × 138.36 ≈ 69.18

4. Найдём объём тетраэда ABCD, используя смешанное произведение векторов: V = 1/6 × |(AB × AC) × AD| AD = D - A = (-1 - (-6); -1 - 5; 0 - 3) = (5; -6; -3) (AB × AC) × AD = (10 × 5 + (-134) × (-6) + 33 × (-3)) = (50 + 804 - 99) = 755 V = 1/6 × 755 ≈ 125.83

5. Используем формулу объёма тетраэда V = 1/3 × S_ABC × DH, чтобы найти длину высоты DH: DH = (3 × V) / S_ABC = (3 × 125.83) / 69.18 ≈ 5.43

Таким образом, длина высоты DH ≈ 5.43.

Ответ: Длина высоты DH ≈ 5.43