Задача 77563 ...

64383669a663f82933efeaae

5/19/2024 4:03:24 PM

Пусть стрелок имеет n патронов и стреляет по мишени до первого попадания,
причем вероятность попадания при одном выстреле равна p. Пусть ξ есть
количеством израсходованных патронов. Найти распределение случайной величины ξ и
вычислить Mξ и Dξ. Рассмотреть случай n → +∞

66476dea82e8587d6f1aab76

5/19/2024 4:30:41 PM

★

Задание описывает случайную величину ξ, представляющую собой количество потраченных патронов до первого попадания. Вероятность попадания при одном выстреле равна p, следовательно, вероятность не попасть при одном выстреле равна (1-p).

Количество израсходованных патронов ξ может принимать значения 1, 2, 3, ... до бесконечности. Формально это можно представить как геометрическое распределение.

Пусть ξ ~ Geom(p), где p - вероятность попадания при одном выстреле.

Для геометрического распределения математическое ожидание Mξ и дисперсия Dξ:
Mξ = 1/p
Dξ = (1-p) / p × 2

При n → +∞ вероятность попадания становится очень малой, обозначим её как p = 1/n, где n - количество патронов. Тогда для бесконечно большого количества патронов формулы принимают следующий вид:
Mξ = 1/(1/n) = n
Dξ = (1 - 1/n) / (1/n) × 2 = n - 1

Таким образом, для случая n → +∞ математическое ожидание и дисперсия количества израсходованных патронов до первого попадания равны n и n-1 соответственно.