Задача 77540 Вычислить с помощью определенного...
Условие
ограниченной параболой и прямой, уравнение которых задано. Построить эту
фигуру в системе координат
Oxy
и заштриховать ее. 
Решение
Выражаем y через x в уравнении прямой:
y = x + 8
Находим пределы интегрирования. Это точки пересечения прямой и параболы.
Приравниваем правые части уравнений:
1/2*(x + 4)^2 = x + 8
(x + 4)^2 = 2x + 16
x^2 + 8x + 16 = 2x + 16
x^2 + 6x = 0
x1 = -6; x2 = 0
Возьмем любую точку на этом промежутке и найдем значения функций:
y(-1) = 1/2*(-1 + 4)^2 = 1/2*3^2 = 9/2 = 4,5
y(-1) = -1 + 8 = 7
7 > 4,5, значит, прямая лежит выше параболы.
Площадь фигуры, ограниченной линиями, вычисляем через интеграл:
[m]\int \limits_{-6}^0 (x+8 - \frac{1}{2}(x+4)^2) dx = \frac{x^2}{2} + 8x - \frac{(x+4)^3}{6}\ |_{-6}^0 =[/m]
[m]= (0+0-\frac{4^3}{6}) - (\frac{(-6)^2}{2} + 8(-6) - \frac{(-6+4)^3}{6}) =[/m]
[m]= -\frac{64}{6} - 18 + 48 + \frac{-8}{6} = 30 - \frac{72}{6} = 30 - 12 = 18[/m]
График прилагается. Область закрашена красным.