Задача 77539 Развязать систему дифференциальных...
Условие
возведение ее к дифференциальному уравнению высшего порядка !!!!!
Решение
{ y' = 3x + 3y
На самом деле здесь две функции: x(t) и y(t)
{ dx/dt = 5x + 8y
{ dy/dt = 3x + 3y
Выражаем x во 2 уравнении. Я вернусь к обозначениям x' и y':
{ x' = 5x + 8y
{ x = 1/3*y' - y
Берем производную по t во 2 уравнении:
{ x' = 5x + 8y
{ x' = 1/3*y'' - y'
Подставляем x и x' из 2 уравнения в 1 уравнение:
1/3*y'' - y' = 5(1/3*y' - y) - y
Умножаем всё на 3:
y'' - 3y' = 5y' - 15y - 3y
y'' - 8y' + 18y = 0
Получили обычное однородное уравнение 2 порядка. Решаем его.
Характеристическое уравнение:
k^2 - 8k + 18 = 0
D/4 = (-4)^2 - 1*18 = 16 - 18 = -2 = (sqrt(2)*i)^2
k1 = 4 - sqrt(2)*i; k2 = 4 + sqrt(2)*i
Решение уравнения:
[b]y(t) = e^(4t)*(C1*cos sqrt(2)t + C2*sin sqrt(2)t)[/b]
Остается найти x(t). Для этого сначала находим y'(t):
y'(t) = 4e^(4t)*(C1*cos sqrt(2)t + C2*sin sqrt(2)t) + e^(4t)*(sqrt(2)*C1(-sin sqrt(2)t) + sqrt(2)*C2*cos sqrt(2)t)
y'(t) = e^(4t)*(4C1*cos sqrt(2)t + 4C2*sin sqrt(2)t - sqrt(2)*C1*sin sqrt(2)t + sqrt(2)*C2*cos sqrt(2)t)
y'(t) = e^(4t)*((4C1+ sqrt(2)*C2)*cos sqrt(2)t + (4C2 - sqrt(2)*C1)*sin sqrt(2)t)
Подставляем y(t) и y'(t) в уравнение:
x = 1/3*y' - y
x(t) = 1/3*e^(4t)*((4C1+ sqrt(2)*C2)*cos sqrt(2)t + (4C2 - sqrt(2)*C1)*sin sqrt(2)t) - e^(4t)*(C1*cos sqrt(2)t + C2*sin sqrt(2)t)
x(t) = e^(4t)*(4/3*C1 + sqrt(2)/3*C2 - C1)*cos sqrt(2)t + (4/3*C2 - sqrt(2)/3*C1 - C2)*sin sqrt(2)t)
[b]x(t) = e^(4t)*(1/3*C1 + sqrt(2)/3*C2)*cos sqrt(2)t + (1/3*C2 - sqrt(2)/3*C1)*sin sqrt(2)t)[/b]
Ответ пишем в виде системы:
{ [b]x(t) = e^(4t)*(1/3*C1 + sqrt(2)/3*C2)*cos sqrt(2)t + (1/3*C2 - sqrt(2)/3*C1)*sin sqrt(2)t)[/b]
{ [b]y(t) = e^(4t)*(C1*cos sqrt(2)t + C2*sin sqrt(2)t)[/b]