Задача 77534 ...
Условие
l :
{ x(t) = 2(2 - sin t),
{ y(t) = 2(1 - cos t),
0 ≤ t ≤ 2π.
Решение
L = ∫ от a до b sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt.
Для данной задачи:
x(t) = 2(2 - sin(t)),
y(t) = 2(1 - cos(t)),
t от 0 до 2π.
Определим производные x(t) и y(t) по t:
dx/dt = d[2(2 - sin(t))]/dt = 2(- cos(t)) = -2cos(t),
dy/dt = d[2(1 - cos(t))]/dt = 2(sin(t)).
Теперь подставим эти производные в формулу для длины дуги:
L = ∫ от 0 до 2π sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt,
= ∫ от 0 до 2π sqrt((-2cos(t))^2 + (2sin(t))^2) dt,
= ∫ от 0 до 2π sqrt(4cos^2(t) + 4sin^2(t)) dt,
= ∫ от 0 до 2π sqrt(4(cos^2(t) + sin^2(t))) dt,
= ∫ от 0 до 2π sqrt(4) dt,
= ∫ от 0 до 2π 2 dt.
Теперь вычисляем интеграл:
L = 2 ∫ от 0 до 2π dt,
= 2[t] от 0 до 2π,
= 2(2π - 0),
= 4π.
Ответ: Длина дуги равна 4π.