Задача 77534 ...

65296fa6ecf5a27b6c41e1fa

18 мая 2024 г. в 11:08

Вычислить длину дуги

l :

{ x(t) = 2(2 – sin t),
{ y(t) = 2(1 – cos t),

0 ≤ t ≤ 2π.

5f282cfba9074b3a3bc0f013

18 мая 2024 г. в 02:10

★

Для вычисления длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, используем следующую формулу:

L = ∫ от a до b √(dx/dt)² + (dy/dt)² dt.

Для данной задачи:
x(t) = 2(2 – sin(t)),
y(t) = 2(1 – cos(t)),
t от 0 до 2π.

Определим производные x(t) и y(t) по t:

dx/dt = d[2(2 – sin(t))]/dt = 2(– cos(t)) = –2cos(t),

dy/dt = d[2(1 – cos(t))]/dt = 2(sin(t)).

Теперь подставим эти производные в формулу для длины дуги:

L = ∫ от 0 до 2π √(dx/dt)² + (dy/dt)² dt,
= ∫ от 0 до 2π √(–2cos(t))² + (2sin(t))² dt,
= ∫ от 0 до 2π √4cos²(t) + 4sin²(t) dt,
= ∫ от 0 до 2π √4(cos²(t) + sin²(t)) dt,
= ∫ от 0 до 2π √4 dt,
= ∫ от 0 до 2π 2 dt.

Теперь вычисляем интеграл:

L = 2 ∫ от 0 до 2π dt,
= 2[t] от 0 до 2π,
= 2(2π – 0),
= 4π.

Ответ: Длина дуги равна 4π.