Задача 77531 Устройство состоит из 400 элементов,...

6647bdbc82e8587d6f1aabcc

5/17/2024 8:30:08 PM

Устройство состоит из 400 элементов, работающих независимо один от другого. Веро-
ятность отказа любого элемента, проработавшего время t, равна 0,15. Найдите наиверо-
ятнейшее количество приборов, которые могут отказать через время t и вероятность от-
каза такого количества.

66476dea82e8587d6f1aab76

5/18/2024 6:46:49 PM

★

Для нахождения наиболее вероятного количества приборов, которые могут отказать через время t и вероятности отказа такого количества, мы можем воспользоваться биномиальным распределением.

В данной задаче:
- количество элементов n = 400
- вероятность отказа любого элемента p = 0,15
- искомое количество отказавших элементов k.

Вероятность того, что ровно k элементов откажут всего из n, задаётся формулой биномиального распределения: P(k) = C(n, k) × p × k × (1-p) × (n-k)

Где C(n, k) - число сочетаний из n по к (количество способов выбрать k элементов из n), равно C(n, k) = n! / (k! (n - k) !).

Наивероятнейшее количество отказавших приборов будет такое, при котором вероятность наибольшая. Это количество элементов будет равно математическому ожиданию в распределении Бернулли, которое вычисляется по формуле E = n × p.

Теперь найдём наиболее вероятное количество отказавших приборов и вероятность отказа этого количества.

1. E = 400 × 0,15 = 60
2. P(60) = C(400,60) × 0,15 × 60 × (1-0,15) × (400-60)

Рассчитаем значение C(400,60):

C(400,60) = 400! / (60! × (400-60)!) ≈ 4.2597157e+84

Теперь вычислим вероятность P(60):

P(60) ≈ 4.2597157e+84 × 0,15 × 60 × 0,85 × 340 ≈ 0,085

Итак, наиболее вероятное количество приборов, которые могут отказать через время t, равно 60, а вероятность отказа 60 элементов составляет примерно 0,085.