Задача 77529 Исследовать функции и построить их...
Условие
1. Область определения функции.
2. Исследование функции на непрерывность.
3. Четность, нечетность функции.
4. Точки пересечения графика функции с осями
координат.
5. Асимптоты:
а) вертикальные асимптоты;
в) невертикальные асимптоты.
6. Интервалы монотонности и экстремумы.
7. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
8. Построение графика.
Решение
а) [m]y = \frac{21-x^2}{7x+9}[/m]
1) Область определения:
7x + 9 ≠ 0
x ≠ -9/7
[b]x ∈ (-oo; -9/7) U (-9/7; +oo)[/b]
2) Непрерывность.
Функция в точке x = -9/7 имеет неустранимый разрыв 2 рода.
3) Четность, нечетность функции.
[m]y(-x) = \frac{21-(-x)^2}{7(-x)+9} = \frac{21-x^2}{-7x+9}[/m]
[m]y(-x) ≠-y(x);\ \ y(-x) ≠ y(x)[/m]
Функция не четная и не нечетная, то есть общего вида.
4) Точки пересечения с осями координат.
Точки пересечения с осью Ox - это точки, в которых y = 0
[m]y(x) = \frac{21-x^2}{7x+9} = 0[/m]
21 - x^2 = 0
x^2 = 21
x1 = -sqrt(21); x2 = sqrt(21)
Точка пересечения с осью Oy - это точка, в которой x = 0
[m]y(0) = \frac{21-0^2}{7 \cdot 0+9} = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}[/m]
5) Асимптоты.
а) Вертикальные:
[b]x = -7/9[/b]
б) Не вертикальные.
f(x) = k*x + b
[m]k = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{21-x^2}{7x^2+9x} = -\frac{1}{7}[/m]
[m]b = \lim \limits_{x \to \infty} (y(x) - kx) = \lim \limits_{x \to \infty} (\frac{21-x^2}{7x+9} + \frac{x}{7}) = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{7(21-x^2)+x(7x+9)}{7x+9}=[/m]
[m] = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{147-7x^2+7x^2+9x}{7x+9} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{147+9x}{7x+9} = \frac{9}{7}[/m]
Наклонная асимптота:
[b]f(x) = -x/7 + 9/7[/b]
6) Интервалы монотонности и экстремумы.
[m]y'(x) = \frac{-2x(7x+9) - 7(21-x^2)}{(7x+9)^2} = \frac{-14x^2-18x - 147+7x^2}{(7x+9)^2} = \frac{-7x^2-18x - 147}{(7x+9)^2}[/m]
В точках экстремумов производная равна 0.
[m]y'(x) = \frac{-7x^2-18x - 147}{(7x+9)^2} = 0[/m]
-7x^2 - 18x - 147 = 0
a = -7 < 0 - ветви параболы направлены вниз; b = -18; c = -147
D/4 = ((-9)^2 - (-7)(-147) = 81 - 7*147 < 0
Точек экстремума нет.
На всей области определения y'(x) < 0, функция убывает.
7) Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
[m]y'' = \frac{(-14x - 18)(7x+9)^2 - (-7x^2-18x - 147) \cdot 2(7x+9) \cdot 7}{(7x+9)^4} = \frac{(-14x - 18)(7x+9) + (7x^2+18x + 147) \cdot 14}{(7x+9)^3} =[/m]
[m]= \frac{-98x^2 - 126x - 126x - 162+ 98x^2+252x + 2058}{(7x+9)^3} = \frac{1896}{(7x+9)^3}[/m]
В точках перегибов вторая производная равна 0.
[m]y''(x) = \frac{1896}{(7x+9)^3} = 0[/m]
Но это уравнение действительных решений не имеет.
Значит, точек перегиба нет.
При x < -9/7 будет y''(x) < 0 - график выпуклый вверх.
При x > -9/7 будет y''(x) > 0 - график выпуклый вниз.
8) График на рисунке. Асимптоты я нарисовал зелёными.
б) y = (4 - x)*e^(x - 3)
Делайте сами по той же схеме.