Задача 77463 Найти первообразную от |sinx-cosx|,если...
Условие
Решение
Тут главная сложность в том, как раскрыть модуль.
При x = π/4 будет sin x = sqrt(2)/2; cos x = sqrt(2)/2, то есть sin x = cos x
При x = π/2 будет sin x = 1; cos x = 0, то есть sin x > cos x
При x = 3π/4 будет sin x = sqrt(2)/2, cos x = -sqrt(2)/2, то есть sin x > cos x
Как мы видим, на всём промежутке [π/4; 3π/4] будет:
sin x >= cos x
sin x - cos x >= 0
|sin x - cos x| = sin x - cos x
[m]\int \limits_{\pi/4}^{3\pi/4} |\sin x - \cos x| dx = \int \limits_{\pi/4}^{3\pi/4} (\sin x - \cos x) dx = -\cos x - \sin x |_{\pi/4}^{3\pi/4} =[/m]
[m]= - \cos \frac{3\pi}{4} - \sin \frac{3\pi}{4} - (- \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}[/m]