Задача 77452 ...

6533d706cb334f3437d1540e

5/13/2024 6:34:01 AM

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 8√3. Найдите длину стороны этого треугольника.

626fab9a354ab65fb2f43abb

5/13/2024 9:34:05 AM

★

Обозначим а сторону равностороннего треугольника.
Тогда его медианы, они же высоты и биссектрисы, все три одинаковые, равны:
m = a*sqrt(3)/2
Далее, точка пересечения медиан, она же центр вписанной и описанной окружности,
делит медианы в отношении 2 : 1, считая от вершин.
Поэтому радиус описанной окружности: R = 2/3*m = 2/3*a*sqrt(3)/2 = a*sqrt(3)/3
А радиус вписанной окружности: r = 1/3*m = 1/3*a*sqrt(3)/2 = a*sqrt(3)/6
У нас r = 8sqrt(3), поэтому:
8sqrt(3) = a*sqrt(3)/6
a/6 = 8
a = 48 - это сторона треугольника.