Задача 77444 Решить уравнение Д) y' = y/x +...
Условие
Д) y' = y/x + cos(y/x);
математика ВУЗ
23
Решение
★
Однородное уравнение 1 порядка. Решается заменой:
t = y/x; y = t*x; y' = t'*x + t
t'*x + t = t + cos t
t'*x = cos t
dt/dx*x = cos t
dt/cos t = dx/x
Уравнение с разделёнными переменными:
[m]\int \frac{dt}{\cos t} = \frac{dx}{x}[/m]
[m]\ln |tg(\frac{t}{2} + \frac{\pi}{4})| = \ln |x| + \ln C = \ln |Cx|[/m]
[m]tg(\frac{t}{2} + \frac{\pi}{4}) = Cx[/m]
[m]\frac{t}{2} + \frac{\pi}{4} = arctg(Cx)[/m]
[m]t = 2arctg(Cx) - \frac{\pi}{2}[/m]
[m]y(x) = tx = x(2arctg(Cx) - \frac{\pi}{2})[/m]