Задача 77436 Решить дифференциальное уравнение 6)...
Условие
6) xy'' - y' ln (y'/x) = 0
Решение
Сделаем замену с понижением порядка дифференцирования:
y'(x) = z(x), тогда y''(x) = z'(x)
[m]xz' - z \ln \frac{z}{x} = 0[/m]
[m]z' = \frac{z}{x} \ln \frac{z}{x}[/m]
Однородное уравнение 1 порядка. Решается заменой:
z/x = t; z = t*x; z' = t'*x + t
t'*x + t = t*ln t
dt/dx*x = t*ln t - t
[m]\frac{dt}{t \ln t - t} = \frac{dx}{x}[/m]
[m]\int \frac{dt}{t (\ln t - 1)} = \int \frac{dx}{x}[/m]
Правая часть табличная, интеграл равен ln |x| + ln C1 = ln |C1*x|.
В левой части делаем уже третью замену:
ln t - 1 = w; dw = dt/t
[m]\int \frac{dw}{w} = \ln |w| = \ln |\ln t + 1|[/m]
Получаем:
ln |ln t + 1| = ln |C1*x|
ln t + 1 = C1*x
ln t = C1*x - 1
t = e^(C1*x-1)
Возвращаемся к исходным функциям:
z = t*x = x*e^(C1*x-1)
y' = z = x*e^(C1*x-1)
[m]y = \int xe^{C1 \cdot x-1} dx[/m]
Берем по частям:
[m]u = x; dv = e^{C1 \cdot x-1} dx; du = dx; v = \frac{1}{C1} \cdot e^{C1 \cdot x-1}[/m]
[m]y = \int xe^{C1 \cdot x-1} dx = \frac{x}{C1} \cdot e^{C1 \cdot x-1} - \int \frac{1}{C1} \cdot e^{C1 \cdot x-1} dx [/m]
[m]y=\frac{x}{C1} \cdot e^{C1 \cdot x-1} - \frac{1}{C1^2} \cdot e^{C1 \cdot x-1} + C2[/m]