Задача 77432 Случайная величина X распределена...

Foooxxx

11 мая 2024 г. в 10:33

Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [a; b].
1. Составить функцию распределения F(x) и функцию плотности x), построить их графики.
2. Вычислить математическое ожидание MX и дисперсию DX.
3. Вычислить вероятность попадания случайной величины X в отрезок [с; d].
4. Оценить вероятность неравенства при помощи неравенства Чебышева. Вычислить эту вероятность непосредственно.

1. a = –7,5, b = –6, c= –9,2, d= –7,2, = 0,2.

exponenta

11 мая 2024 г. в 10:53

★

1.
a=–7,5;
b=–6

$f(x)=\left\{\begin {matrix}0, x ≤-7,5\\\frac{1}{-6-(-7,5)}, -7,5<x≤-6 \\0, x > -6\end {matrix}\right.$

(см. скрин)


По определению:

$F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx$

При x ≤–7,5

$F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }0dx=0$

При –7,5<x≤–6

$F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{-7,5}_{- ∞ }0 dx+∫ ^{x}_{-7,5}\frac{1}{1,5}dx=0+\frac{2}{3}(x)|^{x}_{-7,5}=\frac{2}{3}x+5$

При x > –6

$F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{-7,5}_{- ∞ }0dx+∫ ^{-6}_{-7,5}\frac{1}{7,5}dx+∫ ^{x}_{-6}0dx=\frac{2}{3}(x)|^{-6}_{-7,5}=1$

Получаем:

$F(x)\left\{\begin {matrix}0, x ≤-6\\\frac{2}{3}x+5,-7,5<x≤-6 \\1, x > -6 \end {matrix}\right.$

2.
По определению:
$M(X)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x\cdot f(x)dx$

Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):

$M(X)= ∫ ^{-6}_{-7,5} \frac{1}{1,5}\cdot xdx=\frac{2}{3}\cdot (\frac{x^2}{2})|^{-6}_{-7,5}=\frac{(-6)^2-(-7,5)^2}{3}=\frac{36-56,25}{3}=-\frac{20,25}{3}=-6,75$


По формуле:

D(X)=M(X²)–(M(X))²

Считаем

$M(X^2)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x^2\cdot f(x)dx=$

Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):

$M(X^2)= ∫ ^{-6}_{-7,5} \frac{1}{1,5}\cdot x^2dx=\frac{2}{3}\cdot (\frac{x^3}{3})|^{-6}_{-7,5}=\frac{2((-6)^3-(-7,5)^3)}{9}=\frac{2(-216+421,875)}{9}=\frac{411,75}{9}=45,75$


Тогда
D(X)=M(X²)–(M(X))²=45,75–(–6,75)²=45,75–45,5625=0,1875


3.


По формуле:

$P( α ≤ x ≤ β )=F( β )-F( α )$

с=–9,2

d=–7,2

получаем:

$P( -9,2 < x <-7,2 )=F(-7,2 )-F(-9,2)=\frac{2}{3}\cdot (-7,2)+5-0=0,2$