Задача 77429 ...
Условие
Решить дифференциальное уравнение
4. а) y'' - 7y' + 10y = 5ℓ^(2x), б) y'' + 25y = 12cos3x, в) y'' - y' = 3 * ℓ^x / x.
Решение
Линейное [b]неоднородное [/b]дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение неоднородного уравнения
у_(общее неод)=y_(общее одн.)+y_(част неод)
Решаем однородное :
y'' - 7y'+10y =0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-7k+10=0
В=49-40=9
k_(1)=2; k_(2)=5- корни действительные различные
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(общее одн.)=С_(1)*e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)
Подставляем k_(1)=2; k_(2)=5:
[blue][b]y_(общее одн.)=С_(1)*e^(2*x)+C_(2)*e^(5*x)[/b][/blue]
Для нахождения частного решения неоднородного уравнения
применяем метод неопределенных коэффициентов, так как правая часть уравнения имеет специальный вид
f(x)=5e^(2x)
Частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част неод)=A*x*e^(2x)
Находим производную первого, второго порядка
y`_(част неод)=(Ax*e^(2x))`=A*e^(2x)+Ax*e^(2x)*2
y``_(част неод)=(A*e^(2x)+Ax*e^(2x)*2)`=2A*e^(2x)+2A*e^(2x)+2*A*x*e^(2x)*2=4*A*e^(2x)+4*A*x*e^(2x)
подставляем в данное уравнение:
4*A*e^(2x)+4*A*x*e^(2x)-7*A*e^(2x)-7*2*Ax*e^(2x)+10*x*e^(2x)=5e^(2x)
-3*A*e^(2x)=5e^(2x)
A=-(5/3)
[b]y_(част неод)=(-5/3)*x*e^(2x)[/b]
О т в е т.
у_(общее неод)=y_(общее одн.)+y_(част неод)
у_(общее неод)=[blue][b]С_(1)*e^(2*x)+C_(2)*e^(5*x)[/b][/blue]-(5/3)*x*e^(2x)
Линейное [b]неоднородное [/b]дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение неоднородного уравнения
у_(общее неод)=y_(общее одн.)+y_(част неод)
Решаем однородное :
y'' +25y =0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+25=0
k_(1)=-5i; k_(2)=5i - корни комплексно- сопряженные
α=0
β =5
Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=e^( α x)*(С_(1)*cosβx+C_(2)*sinβx)
y_(одн.)=e^( 0* x)*(С_(1)*cos5x+C_(2)*sin5x)
Правая часть
f(x)=-75* sin2x
частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част ) =Asin2x+Bcos2x
Находим производную первого, второго порядка
y`_(част)=
y``_(част)=
подставляем в данное уравнение:
Находим А и В
Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част )=