Задача 77413 ...

anonim

9 мая 2024 г. в 08:17

используя указанные замены переменной, найти интегралы

10.27. ∫ (√(1 + x²) / x) dx, x = tg t.

exponenta

10 мая 2024 г. в 04:59

★

$x=tgt$

$1+x^2=1+tg^2t=\frac{1}{cos^2t}$

$\sqrt{1+x^2}=\sqrt{\frac{1}{cos^2t}}=\frac{1}{cost}$


$dx=(tgt)`dt=\frac{1}{cos^2t}dt$

тогда


$∫ \frac{\sqrt{1+x^2}}{x}dx= ∫ \frac{\frac{1}{cost}}{tgt}\frac{1}{cos^2t}dt= ∫\frac{1}{sint\cdot cos^2t}dt=$

Домножим и числитель и знаменатель на $sint$

$=∫\frac{sint}{sin^2t\cdot cos^2t}dt=-∫\frac{d(cost)}{(1-cos^2t)\cdot cos^2t}dt=∫\frac{d(cost)}{(cos^2t-1)\cdot cos^2t}dt$

Замена

$u=cost$