Задача 77388 Число 64 представить в виде...

alla

8 мая 2024 г. в 05:56

Число 64 представить в виде произведения двух положительных множителей так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

u821511235

8 мая 2024 г. в 06:31

★

х – одно число, где х>0,
(64/х) – второе число.
x²+(64/x)² – сумма квадратов этих чисел.
Рассмотрим функцию:
f(x)=x²+(64/x)²=(x⁴+64)/x².
Исследуем эту функцию на экстремум:
f'(x)=((x⁴+64)'·x²–(x⁴+64)·(x²)')/(x²)²=(4x³·x²–(x⁴+64)·2x)/x⁴=(4x⁵–2x⁵–128x)/x⁴=(2x⁵–128x)/x⁴=(2x⁴–128)/x⁴,
f'(x)=0:
2x⁴–128=0,
x⁴=64,
x=4,
x=4 – критическая точка,

f'(x) – +
0___________₄______________

x_min=4.

Значит, в точке х=4 функция принимает наименьшее значение, тогда получаем, что х=4 – первое число, 64/4=16 – второе число.
Ответ: 64=4·16.