Задача 77388 Число 64 представить в виде...

632f635587d19127bff140f0

5/8/2024 5:56:51 PM

Число 64 представить в виде произведения двух положительных множителей так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

5f3eaa23faf909182968dde0

5/8/2024 6:31:50 PM

★

х - одно число, где х>0,
(64/х) - второе число.
x^(2)+(64/x)^(2) - сумма квадратов этих чисел.
Рассмотрим функцию:
f(x)=x^(2)+(64/x)^(2)=(x^(4)+64)/x^(2).
Исследуем эту функцию на экстремум:
f'(x)=((x^(4)+64)'*x^(2)-(x^(4)+64)*(x^(2))')/(x^(2))^(2)=(4x^(3)*x^(2)-(x^(4)+64)*2x)/x^(4)=(4x^(5)-2x^(5)-128x)/x^(4)=(2x^(5)-128x)/x^(4)=(2x^(4)-128)/x^(4),
f'(x)=0:
2x^(4)-128=0,
x^(4)=64,
x=4,
x=4 - критическая точка,

f'(x) - +
0____________4______________

x_(min)=4.

Значит, в точке х=4 функция принимает наименьшее значение, тогда получаем, что х=4 - первое число, 64/4=16 - второе число.
Ответ: 64=4*16.