Задача 77368 В шар радиуса 10 см нужно вписать конус...

sewxlo

8 мая 2024 г. в 04:53

В шар радиуса 10 см нужно вписать конус наибольшего
объема. (задача на экстремум)

Удачник66

8 мая 2024 г. в 06:19

★

Смотрите рисунок.
Предельный случай показан красной тонкой линией.
У этого конуса основание близко к 0, а высота почти равна диаметру шара. Объём этого конуса близок к 0.
Конус ABC наибольшего объёма показан зеленой линией.
Основание AB и высоту CD нужно найти.
Радиусы шара показаны синими линиями.
Объём конуса: V = 1/3·π·r²·H = π/3·AD²·CD
Чтобы найти максимальный объём, нужно составить функцию объёма, зависящую от одной переменной.
Для этого нужно найти связь радиуса и высоты конуса.
Из прямоугольного Δ AOD:
OD = AO·cos AOD = R·cos AOD
Высота конуса:
H = CD = CO + OD = R + R·cos AOD = 10(1 + cos AOD)
Радиус конуса:
r = AD = AO·sin AOD = R·sin AOD = 10·sin AOD

Таким образом, нам удалось выразить основание и высоту через угол AOD. Объём конуса:
V(AOD) = π/3·AD²·CD = π/3·100·sin² AOD·10(1 + cos AOD)
V(AOD) = 1000·π/3·(1 – cos² AOD)(1 + cos AOD)
Если объём максимальный, то его производная равна 0.
V'(AOD) = 1000·π/3·[(–2cos AOD(–sin AOD))(1 + cos AOD) +
+ (1 – cos² AOD)(–sin AOD)] = 0
(2cos AOD·sin AOD)(1 + cos AOD) – (1 – cos² AOD)·sin AOD = 0
2cos AOD·sin AOD + 2cos² AOD·sin AOD –
– sin AOD + cos² AOD·sin AOD = 0
2cos AOD·sin AOD – sin AOD + 3cos² AOD·sin AOD = 0
sin AOD·(2cos AOD – 1 + 3cos² AOD) = 0

1) sin AOD = 0 ⇒ AOD = 0 – этот случай нам не подходит.
2) 3cos² AOD + 2cos AOD – 1 = 0
(cos AOD + 1)(3cos AOD – 1) = 0
cos AOD = –1 ⇒ AOD = 180° – этот случай нам не подходит.
3) 3cos AOD – 1 = 0
cos AOD = 1/3 – этот случай нам подходит!
sin AOD = √1 – cos² AOD = √1 – 1/9 = √8/9 = 2√2/3
С помощью калькулятора или таблиц Брадиса можно найти:
AOD = arccos(1/3) ≈ 70,5°
AOB = 2·AOD = 2·70,5 = 141°
Теорема о вписанном угле: Вписанный угол в 2 раза меньше центрального угла, который опирается на ту же хорду.
ACB = AOB/2 = AOD = 70,5° – это угол при вершине конуса.

Высота конуса:
H = 10(1 + cos AOD) = 10(1 + 1/3) = 10·4/3 = 40/3
Радиус конуса:
r = 10·sin AOD = 10·2√2/3 = 20√2/3
Объём конуса:
V = π/3·r²·H = π/3·400·2/9·40/3 = 32000π/81