Задача 77368 В шар радиуса 10 см нужно вписать конус...
Условие
объема. (задача на экстремум)
Решение
Предельный случай показан красной тонкой линией.
У этого конуса основание близко к 0, а высота почти равна диаметру шара. Объём этого конуса близок к 0.
Конус ABC наибольшего объёма показан зеленой линией.
Основание AB и высоту CD нужно найти.
Радиусы шара показаны синими линиями.
Объём конуса: V = 1/3*π*r^2*H = π/3*AD^2*CD
Чтобы найти максимальный объём, нужно составить функцию объёма, зависящую от одной переменной.
Для этого нужно найти связь радиуса и высоты конуса.
Из прямоугольного Δ AOD:
OD = AO*cos AOD = R*cos AOD
Высота конуса:
H = CD = CO + OD = R + R*cos AOD = 10(1 + cos AOD)
Радиус конуса:
r = AD = AO*sin AOD = R*sin AOD = 10*sin AOD
Таким образом, нам удалось выразить основание и высоту через угол AOD. Объём конуса:
V(AOD) = π/3*AD^2*CD = π/3*100*sin^2 AOD*10(1 + cos AOD)
V(AOD) = 1000*π/3*(1 - cos^2 AOD)(1 + cos AOD)
Если объём максимальный, то его производная равна 0.
V'(AOD) = 1000*π/3*[(-2cos AOD(-sin AOD))(1 + cos AOD) +
+ (1 - cos^2 AOD)(-sin AOD)] = 0
(2cos AOD*sin AOD)(1 + cos AOD) - (1 - cos^2 AOD)*sin AOD = 0
2cos AOD*sin AOD + 2cos^2 AOD*sin AOD -
- sin AOD + cos^2 AOD*sin AOD = 0
2cos AOD*sin AOD - sin AOD + 3cos^2 AOD*sin AOD = 0
sin AOD*(2cos AOD - 1 + 3cos^2 AOD) = 0
1) sin AOD = 0 ⇒ AOD = 0 - этот случай нам не подходит.
2) 3cos^2 AOD + 2cos AOD - 1 = 0
(cos AOD + 1)(3cos AOD - 1) = 0
cos AOD = -1 ⇒ AOD = 180° - этот случай нам не подходит.
3) 3cos AOD - 1 = 0
cos AOD = 1/3 - этот случай нам подходит!
sin AOD = sqrt(1 - cos^2 AOD) = sqrt(1 - 1/9) = sqrt(8/9) = 2sqrt(2)/3
С помощью калькулятора или таблиц Брадиса можно найти:
AOD = arccos(1/3) ≈ 70,5°
AOB = 2*AOD = 2*70,5 = 141°
Теорема о вписанном угле: Вписанный угол в 2 раза меньше центрального угла, который опирается на ту же хорду.
ACB = AOB/2 = AOD = 70,5° - это угол при вершине конуса.
Высота конуса:
H = 10(1 + cos AOD) = 10(1 + 1/3) = 10*4/3 = 40/3
Радиус конуса:
r = 10*sin AOD = 10*2sqrt(2)/3 = 20sqrt(2)/3
Объём конуса:
V = π/3*r^2*H = π/3*400*2/9*40/3 = 32000π/81