Задача 77334 ...
Условие
y'' = sin((3/2) x
xy'' - y' ln(y')/x = 0,
yy'' = y^(12)
Решение
y`= ∫ y``dx= ∫ sin(3/2)xdx=(2/3)(-cos((3/2)x) ) +С_(1)
y= ∫ y`dx= ∫ (-(2/3)cos((3/2)x) +С_(1))dx=(4/9)sin(3/2)x+C_(1)x+C_(2)
[b]
y=(4/9)sin(3/2)x+C_(1)x+C_(2)[/b]
б)
Подстановка
y`=u
y``=u`
x*u`-uln(u/x)=0
u`=du/dx
x*du=u*ln(u/x)*dx- однородное уравнение
Подстановка
u/x=v
u=x*v
du=xdv+vdx
x*(xdv+vdx)=(x*v*lnv)dx
Делим на х
(xdv+vdx)=(v*lnv)dx
хdv=v*(lnv-1)dx - уравнение с разделяющимися переменными
dv/v(lnv-1)=dx/x
Интегрируем
∫ du/(v(lnv-1))= ∫ dx/x
d(lnv-1)=(lnv-1)`dx=(1/v)
∫ (1/(lnv-1))*(dv/v)=∫ dx/x
ln|lnv-1|=ln|x|+lnC_(1)
lnv-1=C_(1)x
lnv-lne=C_(1)x
ln(v/e)=C_(1)x
v/e=e^(C_(1)x)
v=e^(C_(1)x-1)
Обратный переход
u/x=v
u=x*e^(C_(1)x-1)
y`=x*e^(C_(1)x-1)
y= ∫ y`dx= ∫ x*e^(C_(1)x-1)dx=
интегрирование по частям