Задача 77263 ...

Анж

26 апреля 2024 г. в 03:36

Шаховий король обійшов всі поля шахівниці 8 × 8, побувавши на кожному
полі рівно один раз, і останнім ходом повернувся на віхідне поле. Ламана, яка
з’єднує послідовно центри полів, через які проходив король, не має самоперетинів. а) Яку найбільшу довжину вона може мати? б) Яку площу може обме–
жувати ця ламана?

123321ee

26 апреля 2024 г. в 03:37

★

а) Найбільша довжина ламаної, яка з'єднує центри полів, через які проходив король, буде дорівнювати кількості ходів короля, тобто 64.

Доведення:
1. Король обійшов всі поля шахівниці 8 × 8, побувавши на кожному полі рівно один раз.
2. Кожен хід короля переміщує його на сусіднє поле, тобто на відстань 1 клітинки.
3. Оскільки король повернувся на вихідне поле, то загальна кількість ходів становить 64.
4. Таким чином, довжина ламаної, яка з'єднує центри полів, через які проходив король, буде дорівнювати 64.

б) Площа, обмежена ламаною, яка з'єднує центри полів, через які проходив король, може бути як завгодно великою, але вона буде обмежуватись розмірами шахівниці 8 × 8.

Доведення:
1. Оскільки ламана не має самоперетинів, то вона може охоплювати довільну частину шахівниці.
2. Шахівниця 8 × 8 має розмір 64 клітинки, тобто площу 64 кв. клітинки.
3. Відповідно, площа, обмежена ламаною, яка з'єднує центри полів, через які проходив король, може бути як завгодно великою, але не більшою за 64 кв. клітинки.

Таким чином, а) найбільша довжина ламаної становить 64, б) площа, обмежена ламаною, може бути як завгодно великою, але не більшою за 64 кв. клітинки.