Задача 77245 При каких значениях параметра а функция...

Antinatalistovich

2 мая 2024 г. в 09:29

При каких значениях параметра а функция y=(x⁴)·e^x/2 имеет только 1 экстремум на промежутке (a–9;a)

Удачник66

2 мая 2024 г. в 10:05

★

y = x⁴·e^x/2
Функция не зависит от параметра а, найдем ее экстремумы.
y' = 4x³·e^x/2 + x⁴·e^x/2·(1/2) = e^x/2·x³·(4 + x/2) = 0
Множитель e^x/2 > 0 при любом x, поэтому:
x³·(4 + x/2) = 0
x1 = 0
4 + x/2 = 0
x/2 = –4
x2 = –8
Теперь нам нужно подобрать такие а, чтобы на промежутке [a – 9; a]
был только один экстремум: или –8, или 0.
Для этого надо решить два двойных неравенства:

1) a – 9 < –8 < a
{ a – 9 < –8
{ a > –8
Получаем:
{ a < 1
{ a > –8
a ∈ (–8; 1)

2) a – 9 < 0 < a
{ a – 9 < 0
{ a > 0
Получаем:
{ a < 9
{ a > 0
a ∈ (0; 9)

Но промежутки пересекаются и получается, что при a ∈ (0; 1) в промежуток [a – 9; a] входят оба экстремума. Поэтому
Ответ: a ∈ (–8; 0) U (1; 9)