Задача 77156 При каких значениях параметра а функция...

65199db047ac953d0ca0181d

4/29/2024 1:39:05 PM

При каких значениях параметра а функция y=(2e^x)+(a*e^(-x))+(2a+1)x-3 будет возрастающей от минус бесконечности до плюс бесконечности

5f3ea7e3faf909182968ddd9

4/29/2024 1:55:41 PM

★

[b]y`>0[/b] ⇔ функция возрастает

Находим производную:

y`=2e^(x)+ae^(-x)+2a+1

y`>0

2e^(x)+ae^(-x)+2a+1>0

e^(x) =t

e^(-x)=1/t

t>0


{2t+(a/t)+2a+1 >0
{t>0

{2t^2+(2a+1)t+a >0
{t>0

D=(2a+1)^2-4*2*(a)=4a^2+4a+1-8a=4a^2-4a+1=(2a-1)^2

корни

t_(1)=(-(2a+1)-(2a-1))/4 или t_(2)=(-(2a+1)+(2a-1))/4 ⇒ t_(1)=-a или t_(2)=-1/2

если
-a < -1/2 ⇒ [b]a > 1/2[/b]

{t < -a или t > (-1/2)
{t>0

решение системы

t >0


если
-a > -1/2 ⇒ a < 1/2

{ t < -1/2 или t > -a
{t>0

решение системы
при
[b]0 < a < 1/2[/b]
t>0

при a < 0
t>-a ⇒ e^(x) >-a не будет выполняться при всех х от минус бесконечности до плюс бесконечности


Проверим

при a=0
a=1/2


при a=0
y=(2e^(x)+(0·e^(–x))+(2*0+1)x–3

y=2e^(x)+x-3

y`=2e^(x)+1 >0 при любых х ∈ (- ∞ ;+ ∞ )

при
a=1/2

y=2e^(x)+((1/2)·e^(–x))+(2*(1/2)+1)x–3

y=2e^(x)+((1/2)·e^(–x))+2x–3

y`=2e^(x)-(1/2)·e^(–x)+2

y`=(4t^2+4t-1)/(2t) ≥ 0

возрастает


О т в е т. a ∈{0} U(0; 1/2)U{1/2}U(1/2;+ ∞ )= [0;+ ∞ )