Задача 77130 ...

65f7ecb7ba05947c7386e747

4/26/2024 7:53:04 PM

4. Лінійний оператор А вектори а₁ = {1; -2}, а₂ = {2; -3} перетворює відповідно у вектори b₁ = {2; 1}, b₂ = {1; 2}. У який вектор перетворить справжній оператор А* вектор х = {1; 1}?

5f3ea7e3faf909182968ddd9

4/28/2024 8:12:18 AM

★

vector{a_(1)}=vector{i}-2vector{j}
vector{a_(2)}=2vector{i}-3vector{j}


vector{a_(1)}=vector{i}-2vector{j}
vector{a_(2)}=2vector{i}-3vector{j}

vector{a_(1)}+2vector{j}=vector{i}
vector{a_(2)}=2(vector{a_(1)}+2vector{j})-3vector{j} ⇒

vector{j} =-2vector{a_(1)}+vector{a_(2)}
vector{i}=vector{a_(1)}+2(-2vector{a_(1)}+vector{a_(2)}) ⇒ vector{i}=-3vector{a_(1)}+2vector{a_(2)})

[r]vector{i}=-3vector{a_(1)}+2vector{a_(2)}
vector{j} =-2vector{a_(1)}+vector{a_(2)} [/r]


Это действие можно выполнить с помощью матрицы перехода от базиса (vector{i};vector{j})

к базису (vector{a_(1)}; vector{a_(2)})


(vector{a_(1)}; vector{a_(2)})=(vector{i};vector{j})* [m]\begin {bmatrix}1&2\\-2&-3\end {bmatrix} [/m]

Матрица перехода [m]\begin {bmatrix}1&2\\-2&-3\end {bmatrix} [/m], в которой в первом столбце записаны координаты вектора
vector{a_(1)}, а во втором столбце - координаты вектора vector{b_(1)}


Тогда, чтобы записать старый базис (vector{i}; vector{j}) через новый (vector{a_(1)}; vector{a_(2)})

применяем обратную матрицу:

⇒ (vector{i};vector{j})=(vector{a_(1)}; vector{a_(2)})*[m](\begin {bmatrix}1&2\\-2&-3\end {bmatrix})^{-1} [/m]

[m]\begin {vmatrix}1&2\\-2&-3\end {vmatrix}=1\cdot (-3)-(-2)\cdot 2=-3+4=1 ≠ 0 [/m]

Матрица обратима. Чтобы найти обратную матрицу, можно приписать к данной единичную матрицу


[m]\begin {bmatrix}1&2&1&0\\-2&-3&0&1\end {bmatrix} [/m]

и с помощью элементарных преобразований получить слева единичную, тогда справа получим обратную

Умножаем первую строку на (-2) и складываем со второй

[m]\begin {bmatrix}1&2&1&0\\0&1&2&1\end {bmatrix} [/m]

Умножаем вторую строку на (-2) и складываем с первой

[m]\begin {bmatrix}1&0&-3&-2\\0&1&2&1\end {bmatrix} [/m]


(vector{i};vector{j})=(vector{a_(1)}; vector{a_(2)})*[m]\begin {bmatrix}-3&-2\\2&1\end {bmatrix} [/m]
Сравним:
[r]vector{i}=-3vector{a_(1)}+2vector{a_(2)}
vector{j} =-2vector{a_(1)}+vector{a_(2)} [/r]

Координаты первого вектора это первый столбец
Координаты второго - второй столбец.



Выразим векторы vector{b_(1)} и vector{b_(2)}
через векторы vector{a_(1)} и vector{a_(2)}

vector{b_(1)}=2vector{i}+vector{j}
vector{b_(2)}=vector{i}+2vector{j}

vector{b_(1)}=2*(-3vector{a_(1)}+2vector{a_(2)})+(-2vector{a_(1)}+vector{a_(2)})
vector{b_(2)}=(-3vector{a_(1)}+2vector{a_(2)})+2*(-2vector{a_(1)}+vector{a_(2)})

⇒
vector{b_(1)}=-8vector{a_(1)}+5vector{a_(2)}
vector{b_(2)}=-7vector{a_(1)}+4vector{a_(2)}

(vector{b_(1)};vector{b_(2)})=(vector{a_(1)}; vector{a_(2)})*[m]\begin {bmatrix}-8&-7\\5&4\end {bmatrix} [/m]


vector{x}=vector{i}+vector{j}

vector{x}=(1;1)

(1;1)*[m]\begin {bmatrix}-8&-7\\5&4\end {bmatrix} [/m] =(1*(-8)+1*5; 1*(-7)+1*4)=(-3;-3)