a2=2i–3j
a1=i–2j
a2=2i–3j
a1+2j=i
a2=2(a1+2j)–3j ⇒
j =–2a1+a2
i=a1+2(–2a1+a2) ⇒ i=–3a1+2a2)
j =–2a1+a2
Это действие можно выполнить с помощью матрицы перехода от базиса (i;j)
к базису (a1; a2)
(a1; a2)=(i;j)· \begin {bmatrix}1&2\\-2&-3\end {bmatrix}
Матрица перехода \begin {bmatrix}1&2\\-2&-3\end {bmatrix} , в которой в первом столбце записаны координаты вектора
a1, а во втором столбце – координаты вектора b1
Тогда, чтобы записать старый базис (i; j) через новый (a1; a2)
применяем обратную матрицу:
⇒ (i;j)=(a1; a2)·(\begin {bmatrix}1&2\\-2&-3\end {bmatrix})^{-1}
\begin {vmatrix}1&2\\-2&-3\end {vmatrix}=1\cdot (-3)-(-2)\cdot 2=-3+4=1 ≠ 0
Матрица обратима. Чтобы найти обратную матрицу, можно приписать к данной единичную матрицу
\begin {bmatrix}1&2&1&0\\-2&-3&0&1\end {bmatrix}
и с помощью элементарных преобразований получить слева единичную, тогда справа получим обратную
Умножаем первую строку на (–2) и складываем со второй
\begin {bmatrix}1&2&1&0\\0&1&2&1\end {bmatrix}
Умножаем вторую строку на (–2) и складываем с первой
\begin {bmatrix}1&0&-3&-2\\0&1&2&1\end {bmatrix}
(i;j)=(a1; a2)·\begin {bmatrix}-3&-2\\2&1\end {bmatrix}
Сравним:
j =–2a1+a2
Координаты первого вектора это первый столбец
Координаты второго – второй столбец.
Выразим векторы b1 и b2
через векторы a1 и a2
b1=2i+j
b2=i+2j
b1=2·(–3a1+2a2)+(–2a1+a2)
b2=(–3a1+2a2)+2·(–2a1+a2)
⇒
b1=–8a1+5a2
b2=–7a1+4a2
(b1;b2)=(a1; a2)·\begin {bmatrix}-8&-7\\5&4\end {bmatrix}
x=i+j
x=(1;1)
(1;1)·\begin {bmatrix}-8&-7\\5&4\end {bmatrix} =(1·(–8)+1·5; 1·(–7)+1·4)=(–3;–3)