Loading [MathJax]/extensions/tex2jax.js
Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 77130 ...

Условие

4. Лінійний оператор А вектори а₁ = {1; –2}, а₂ = {2; –3} перетворює відповідно у вектори b₁ = {2; 1}, b₂ = {1; 2}. У який вектор перетворить справжній оператор А· вектор х = {1; 1}?

математика ВУЗ 87

Решение

a1=i–2j
a2=2i–3j


a1=i–2j
a2=2i–3j

a1+2j=i
a2=2(a1+2j)–3j

j =–2a1+a2
i=a1+2(–2a1+a2) ⇒ i=–3a1+2a2)

i=–3a1+2a2
j =–2a1+a2



Это действие можно выполнить с помощью матрицы перехода от базиса (i;j)

к базису (a1; a2)


(a1; a2)=(i;j)· [m]\begin {bmatrix}1&2\\-2&-3\end {bmatrix} [/m]

Матрица перехода [m]\begin {bmatrix}1&2\\-2&-3\end {bmatrix} [/m], в которой в первом столбце записаны координаты вектора
a1, а во втором столбце – координаты вектора b1


Тогда, чтобы записать старый базис (i; j) через новый (a1; a2)

применяем обратную матрицу:

⇒ (i;j)=(a1; a2)·[m](\begin {bmatrix}1&2\\-2&-3\end {bmatrix})^{-1} [/m]

[m]\begin {vmatrix}1&2\\-2&-3\end {vmatrix}=1\cdot (-3)-(-2)\cdot 2=-3+4=1 ≠ 0 [/m]

Матрица обратима. Чтобы найти обратную матрицу, можно приписать к данной единичную матрицу


[m]\begin {bmatrix}1&2&1&0\\-2&-3&0&1\end {bmatrix} [/m]

и с помощью элементарных преобразований получить слева единичную, тогда справа получим обратную

Умножаем первую строку на (–2) и складываем со второй

[m]\begin {bmatrix}1&2&1&0\\0&1&2&1\end {bmatrix} [/m]

Умножаем вторую строку на (–2) и складываем с первой

[m]\begin {bmatrix}1&0&-3&-2\\0&1&2&1\end {bmatrix} [/m]


(i;j)=(a1; a2)·[m]\begin {bmatrix}-3&-2\\2&1\end {bmatrix} [/m]
Сравним:
i=–3a1+2a2
j =–2a1+a2


Координаты первого вектора это первый столбец
Координаты второго – второй столбец.



Выразим векторы b1 и b2
через векторы a1 и a2

b1=2i+j
b2=i+2j

b1=2·(–3a1+2a2)+(–2a1+a2)
b2=(–3a1+2a2)+2·(–2a1+a2)


b1=–8a1+5a2
b2=–7a1+4a2

(b1;b2)=(a1; a2)·[m]\begin {bmatrix}-8&-7\\5&4\end {bmatrix} [/m]


x=i+j

x=(1;1)

(1;1)·[m]\begin {bmatrix}-8&-7\\5&4\end {bmatrix} [/m] =(1·(–8)+1·5; 1·(–7)+1·4)=(–3;–3)

Обсуждения

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК