Задача 77130 ...

4. Лінійний оператор А вектори а₁ = {1; –2}, а₂ = {2; –3} перетворює відповідно у вектори b₁ = {2; 1}, b₂ = {1; 2}. У який вектор перетворить справжній оператор А· вектор х = {1; 1}?

a₁=i–2j
a₂=2i–3j


a₁=i–2j
a₂=2i–3j

a₁+2j=i
a₂=2(a₁+2j)–3j ⇒

j =–2a₁+a₂
i=a₁+2(–2a₁+a₂) ⇒ i=–3a₁+2a₂)

Это действие можно выполнить с помощью матрицы перехода от базиса (i;j)

к базису (a₁; a₂)


(a₁; a₂)=(i;j)· $\begin {bmatrix}1&2\\-2&-3\end {bmatrix}$

Матрица перехода $\begin {bmatrix}1&2\\-2&-3\end {bmatrix}$, в которой в первом столбце записаны координаты вектора
a₁, а во втором столбце – координаты вектора b₁


Тогда, чтобы записать старый базис (i; j) через новый (a₁; a₂)

применяем обратную матрицу:

⇒ (i;j)=(a₁; a₂)·$(\begin {bmatrix}1&2\\-2&-3\end {bmatrix})^{-1}$

$\begin {vmatrix}1&2\\-2&-3\end {vmatrix}=1\cdot (-3)-(-2)\cdot 2=-3+4=1 ≠ 0$

Матрица обратима. Чтобы найти обратную матрицу, можно приписать к данной единичную матрицу


$\begin {bmatrix}1&2&1&0\\-2&-3&0&1\end {bmatrix}$

и с помощью элементарных преобразований получить слева единичную, тогда справа получим обратную

Умножаем первую строку на (–2) и складываем со второй

$\begin {bmatrix}1&2&1&0\\0&1&2&1\end {bmatrix}$

Умножаем вторую строку на (–2) и складываем с первой

$\begin {bmatrix}1&0&-3&-2\\0&1&2&1\end {bmatrix}$


(i;j)=(a₁; a₂)·$\begin {bmatrix}-3&-2\\2&1\end {bmatrix}$
Сравним:


Координаты первого вектора это первый столбец
Координаты второго – второй столбец.



Выразим векторы b₁ и b₂
через векторы a₁ и a₂

b₁=2i+j
b₂=i+2j

b₁=2·(–3a₁+2a₂)+(–2a₁+a₂)
b₂=(–3a₁+2a₂)+2·(–2a₁+a₂)

⇒
b₁=–8a₁+5a₂
b₂=–7a₁+4a₂

(b₁;b₂)=(a₁; a₂)·$\begin {bmatrix}-8&-7\\5&4\end {bmatrix}$


x=i+j

x=(1;1)

(1;1)·$\begin {bmatrix}-8&-7\\5&4\end {bmatrix}$ =(1·(–8)+1·5; 1·(–7)+1·4)=(–3;–3)