Задача 77129 Ортогональные операторы. Определите,...
Условие
Решение
vector{n}=(3;2;0}
Произвольная точка пространства M(x;y;z) переходит в точку плоскости M_(1)(x_(1);y_(1);z_(1))
При этом вектор vector{n}=(3;2;0} является направляющим вектором прямой MM_(1) . Поэтому, каноническое уравнение прямой MM_(1) имеет вид:
[m]\frac{x-x_{1}}{3}=\frac{y-y_{1}}{2}=\frac{z-z_{1}}{0}[/m]
Точка M_(1)(x_(1);y_(1);z_(1)) принадлежит и плоскости и прямой
Следовательно, её координаты удовлетворяют уравнению плоскости и уравнениям прямой
{ [m]3x_{1}+2y_{1}=0[/m]
{[m]\frac{x-x_{1}}{3}=\frac{y-y_{1}}{2}=\frac{z-z_{1}}{0}[/m]
Решаем систему:
{x_(1)=(4x-6y)/13
{y_(1)=(-6x+9y)/13
{z=z_(1)
Таким образом, произвольная точка пространства M(x;y;z) переходит в точку плоскости M_(1)((4x-6y)/13;(-6x+9y)/13;z)
Следовательно, проектирование на плоскость выполняется преобразованием
A(x;y;z)=(4x-6y)/13;(-6x+9y)/13;z)
Чтобы найти матрицу преобразования, найдём образы координатных векторов.
vector{i}=(1;0;0)
Avector{i}=((4*1-6*0)/13;(-6*1+9*0)/13;0)
Avector{i}=(4/13;(-6)/13;0)
vector{j}=(0;1;0)
Avector{j}=((4*0-6*1)/13;(-6*0+9*1)/13;0)
Avector{j}=(-6/13;9/13;0)
vector{k}=(0;0;1)
Avector{k}=((4*0-6*0)/13;(-6*0+9*0)/13;1)
Avector{k}=(0;0;1)
Матрица линейного преобразования это матрица, столбцы которой — координаты базисных векторов
Поэтому
A=[m]\begin {bmatrix} \frac{4}{13}&-\frac{6}{13}&0\\-\frac{6}{13}&\frac{9}{13}&0\\0&0&1\end {bmatrix}[/m]
Определитель этой матрицы равен 0
[m]\begin {vmatrix} \frac{4}{13}&-\frac{6}{13}&0\\-\frac{6}{13}&\frac{9}{13}&0\\0&0&1\end {vmatrix}=(-1)^{3+3}\cdot \begin {vmatrix} \frac{4}{13}&-\frac{6}{13}\\-\frac{6}{13}&\frac{9}{13}&\end {vmatrix}=\frac{4}{13}\cdot\frac{9}{13}-(-\frac{6}{13})\cdot (-\frac{6}{13})=0 [/m]
О т в е т. Нет