Задача 77120 найдите объем правильной треугольной...
Условие
Решение
Смотрите рис. 1. Рёбра тетраэдра все одинаковые, а = 3.
Площадь основания:
S(осн) = a^2*sqrt(3)/4 = 9sqrt(3)/4
Смотрите рис. 2. Это отдельно основание ABC.
CM = a*sqrt(3)/2 = 3sqrt(3)/2
Медианы, они же высоты и биссектрисы, пересекаются в т. О.
O - центр равностороннего треугольника.
Эта точка делит медианы в отношении 2 : 1, считая от углов. Поэтому:
OC = 2/3*CM = 2/3*3sqrt(3)/2 = sqrt(3)
Вернемся к рис. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник OCD в тетраэдре.
CD - гипотенуза этого треугольника, OC и OD - катеты.
H = OD = sqrt(CD^2 - OC^2) = sqrt(3^2 - (sqrt(3))^2) = sqrt(9 - 3) = sqrt(6)
Объём тетраэдра:
V = 1/3*S(осн)*H = 1/3*9sqrt(3)/4*sqrt(6) = 3sqrt(3)/4*sqrt(6) = 3*3*sqrt(2)/4 = 9sqrt(2)/4