Задача 7703 Четырёхугольник ABCD с диагональю АС...

larisashakirova

3 декабря 2016 г. в 00:00

Четырёхугольник ABCD с диагональю АС вписан в окружность, SABCD=1/2(AB•BC+AD•DC). Докажите, что АВ² + ВС² = АС²

SABCD=SABC+SADC. SABCD=1/2AB•BC•sin∠B+1/2AD•DCsin∠D. SABCD=1/2(AB•BC•sin∠B+AD•DCsin∠B) => sin∠B=sin∠C=1 => ∠B=∠C=90 => ∆ABC – прямоугольный. По теореме Пифагора АВ² + ВС² = АС², что и требовалось доказать.

Ответ: В решение

u516520028

17 января 2017 г.

Заданную площадь представим в виде суммы S=AB·BC/2 + AD·DC/2
Площадь четырехугольника складывается из площадей двух треугольников – АВС и АDC.
Т.к. площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, то из этого следует, что AB перпендикулярно ВС( SABC=AB·BC/2), а AD перпендикулярно CD (SADC=AD·CD/2). Следовательно, АВ и ВС – катеты прямоугольного треугольника АВС, а АС – его гипотенуза. Тогда, по теореме Пифагора АВ² + ВС² = АС², чтд.