Задача 7702 Треугольник АВС вписан в окружность, АВ...

larisashakirova

3 декабря 2016 г. в 00:00

Треугольник АВС вписан в окружность, АВ = 12, АС = 6, SABC = 18, угол А является острым. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

S∆ ABC=1/2AB•BC•sin∠A => 18=1/2•12•6•sin∠A => sin∠A=1/2 => ∠A=30. S∆=(AB•BC•AC)/(4R) => 18BC/R=18 => R=BC. Проведем высоту BH. Катет, лежащий против угла в 30 °, равен половине гипотенузы => BH=6. По теореме Пифагора AB²=BH²+AH², AH=√(144–36)=√108=6√3. HC=6√3–6. Из ∆CBH BC²=BH²+CH². BC²=36+(6√3–6)²=36+108–72√3+36=180–72√3. BC=√(180–72√3)=√(36(5–2√3))=6√(5–2√3)

Ответ: 6√(5-2√3)