Задача 76951 1) 2 sin x - 5 cos x = 3 2) 1 - 4 sin 2x...

sewxlo

17 апреля 2024 г. в 03:43

1) 2 sin x – 5 cos x = 3
2) 1 – 4 sin 2x + 6 cos² x = 0

Удачник66

17 апреля 2024 г. в 04:24

★

1) 2sin x – 5cos x = 3
Переходим к половинному аргументу по формулам:
sin 2a = 2sin a·cos a
cos 2a = cos² a – sin² a
И воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
sin² a + cos² a = 1
Подставляем в уравнение, считая a = x/2:
4sin(x/2)·cos(x/2) – 5cos² (x/2) + 5sin² (x/2) = 3sin² (x/2) + 3cos² (x/2)
4sin(x/2)·cos(x/2) – 5cos² (x/2) + 5sin² (x/2) – 3sin² (x/2) – 3cos² (x/2) = 0
2sin²(x/2) + 4sin(x/2)·cos(x/2) – 8cos²(x/2) = 0
Делим всё уравнение на 2cos²(x/2):
tg² (x/2) + 2tg(x/2) – 4 = 0
Получили квадратное уравнение относительно tg(x/2):
D/4 = 1² – 1(–4) = 1 + 4 = 5

tg(x/2) = –1 – √5
x/2 = –arctg(1+√5) + π·k, k ∈ Z
x1 = –2arctg(1+√5) + 2π·k, k ∈ Z

tg(x/2) = –1 + √5 = √5 – 1
x/2 = arctg(√5 – 1) + π·n, n ∈ Z
x2 = 2arctg(√5 – 1) + 2π·n, n ∈ Z

2) 1 – 4sin 2x + 6cos² x = 0
Воспользуемся теми же формулами, что в 1) номере.
sin² x + cos² x – 8sin x·cos x + 6cos² x = 0
sin² x – 8sin x·cos x + 7cos² x = 0
Делим всё уравнение на cos² x:
tg² x – 8tg x + 7 = 0
Получили квадратное уравнение относительно tg x:
D/4 = (–4)² – 1·7 = 16 – 7 = 9 = 3²

tg x = –4 – 3 = –7
x1 = –arctg 7 + π·k, k ∈ Z

tg x = –4 + 3 = –1
x2 = –π/4 + π·n, n ∈ Z