Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 76951 1) 2 sin x - 5 cos x = 3 2) 1 - 4 sin 2x...

Условие

1) 2 sin x – 5 cos x = 3
2) 1 – 4 sin 2x + 6 cos2 x = 0

математика 10-11 класс 228

Решение

1) 2sin x – 5cos x = 3
Переходим к половинному аргументу по формулам:
sin 2a = 2sin a·cos a
cos 2a = cos2 a – sin2 a
И воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
sin2 a + cos2 a = 1
Подставляем в уравнение, считая a = x/2:
4sin(x/2)·cos(x/2) – 5cos2 (x/2) + 5sin2 (x/2) = 3sin2 (x/2) + 3cos2 (x/2)
4sin(x/2)·cos(x/2) – 5cos2 (x/2) + 5sin2 (x/2) – 3sin2 (x/2) – 3cos2 (x/2) = 0
2sin2(x/2) + 4sin(x/2)·cos(x/2) – 8cos2(x/2) = 0
Делим всё уравнение на 2cos2(x/2):
tg2 (x/2) + 2tg(x/2) – 4 = 0
Получили квадратное уравнение относительно tg(x/2):
D/4 = 12 – 1(–4) = 1 + 4 = 5

tg(x/2) = –1 – √5
x/2 = –arctg(1+√5) + π·k, k ∈ Z
x1 = –2arctg(1+√5) + 2π·k, k ∈ Z

tg(x/2) = –1 + √5 = √5 – 1
x/2 = arctg(√5 – 1) + π·n, n ∈ Z
x2 = 2arctg(√5 – 1) + 2π·n, n ∈ Z

2) 1 – 4sin 2x + 6cos2 x = 0
Воспользуемся теми же формулами, что в 1) номере.
sin2 x + cos2 x – 8sin x·cos x + 6cos2 x = 0
sin2 x – 8sin x·cos x + 7cos2 x = 0
Делим всё уравнение на cos2 x:
tg2 x – 8tg x + 7 = 0
Получили квадратное уравнение относительно tg x:
D/4 = (–4)2 – 1·7 = 16 – 7 = 9 = 32

tg x = –4 – 3 = –7
x1 = –arctg 7 + π·k, k ∈ Z

tg x = –4 + 3 = –1
x2 = –π/4 + π·n, n ∈ Z

Обсуждения

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК