Задача 76951 1) 2 sin x - 5 cos x = 3 2) 1 - 4 sin 2x...
Условие
2) 1 - 4 sin 2x + 6 cos^2 x = 0
Решение
Переходим к половинному аргументу по формулам:
sin 2a = 2sin a*cos a
cos 2a = cos^2 a - sin^2 a
И воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
sin^2 a + cos^2 a = 1
Подставляем в уравнение, считая a = x/2:
4sin(x/2)*cos(x/2) - 5cos^2 (x/2) + 5sin^2 (x/2) = 3sin^2 (x/2) + 3cos^2 (x/2)
4sin(x/2)*cos(x/2) - 5cos^2 (x/2) + 5sin^2 (x/2) - 3sin^2 (x/2) - 3cos^2 (x/2) = 0
2sin^2(x/2) + 4sin(x/2)*cos(x/2) - 8cos^2(x/2) = 0
Делим всё уравнение на 2cos^2(x/2):
tg^2 (x/2) + 2tg(x/2) - 4 = 0
Получили квадратное уравнение относительно tg(x/2):
D/4 = 1^2 - 1(-4) = 1 + 4 = 5
tg(x/2) = -1 - sqrt(5)
x/2 = -arctg(1+sqrt(5)) + π*k, k ∈ Z
[b]x1 = -2arctg(1+sqrt(5)) + 2π*k, k ∈ Z[/b]
tg(x/2) = -1 + sqrt(5) = sqrt(5) - 1
x/2 = arctg(sqrt(5) - 1) + π*n, n ∈ Z
[b]x2 = 2arctg(sqrt(5) - 1) + 2π*n, n ∈ Z[/b]
2) 1 - 4sin 2x + 6cos^2 x = 0
Воспользуемся теми же формулами, что в 1) номере.
sin^2 x + cos^2 x - 8sin x*cos x + 6cos^2 x = 0
sin^2 x - 8sin x*cos x + 7cos^2 x = 0
Делим всё уравнение на cos^2 x:
tg^2 x - 8tg x + 7 = 0
Получили квадратное уравнение относительно tg x:
D/4 = (-4)^2 - 1*7 = 16 - 7 = 9 = 3^2
tg x = -4 - 3 = -7
[b]x1 = -arctg 7 + π*k, k ∈ Z[/b]
tg x = -4 + 3 = -1
[b]x2 = -π/4 + π*n, n ∈ Z[/b]