Задача 76921 Найти координаты вершин C и D...

661d77fd5e9aa453dd28049e

4/15/2024 7:32:05 PM

Найти координаты вершин C и D параллелограмма ABCD , если A(3;−5;6), B(4;−2;2), точка C лежит на прямой (x–4)/–1 = (y–1)/2 = z/–2, а точка D лежит на плоскости 3x − 4y − 5z −1 = 0 .

5f3ea7e3faf909182968ddd9

4/16/2024 4:58:32 AM

★

Параллелограмм- четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны

vector{AB}=(4-3;-2-(-5);2-6)=(1;3;-4)

vector{DС}=[m]({x_{1}-x_{2}; y_{1}-y_{2}; z_{1}-z_{2}})[/m]

AB= DС ⇒ значит

vector{AB}=vector{CD}, значит равны их координаты:

[m]x_{1}-x_{2}=1[/m]

[m]y_{1}-y_{2}=3[/m]

[m]z_{1}-z_{2}=-4[/m]



По условию точка C принадлежит прямой

[m]\frac{x-4}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-2}[/m]

Запишем это уравнение параметрически

[m]\frac{x-4}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-2}=t[/m] ⇒

[m]\frac{x-4}{-1}=t[/m] ⇒[m] x=-t+4[/m]
[m]\frac{y-1}{2}=t[/m] ⇒[m] y=2t+1[/m]
[m]\frac{z}{-2}=t[/m] ⇒ [m]z=-2t[/m]

По условию точка C принадлежит прямой

[m] x_{1}=-t+4[/m]
[m] y_{1}=2t+1[/m]
[m]z_{1}=-2t[/m]


[m]x_{1}-x_{2}=1[/m] ⇒[m](-t+4)-x_{2}=1[/m] ⇒ [m]x_{2}=-t+3[/m]

[m]y_{1}-y_{2}=3[/m] ⇒ [m](2t+1)-y_{2}=3[/m] ⇒ [m]y_{2}=2t-2[/m]

[m]z_{1}-z_{2}=-4[/m] ⇒ [m](-2t)-z_{2}=-4[/m] ⇒ [m]z_{2}=-2t+4[/m]


По условию точка D принадлежит плоскости

[m]3x-4y-5z-1=0[/m]

Подставляем координаты точки D в это уравнение:


[m]x_{2}=-t+3[/m]

[m]y_{2}=2t-2[/m]

[m]x_{2}=-2t+4[/m]


[m]3\cdot (-t+3)-4\cdot (2t-2)-5(-2t+4)-1=0[/m]

[m]-3t+9-8t+8+10t-20-1=0[/m]

[m]-t-4=0[/m]

[m]t=-4[/m]


Значит

[m]x_{2}=-(-4)+3=7[/m]

[m]y_{2}=2\cdot(- 4)-2=-10[/m]

[m]x_{2}=-2\cdot (-4)+4=12[/m]


[m] x_{1}=-(-4)+4=8[/m]
[m] y_{1}=2\cdot (-4)+1=-7[/m]
[m]z_{1}=-2\cdot (-4)=-8[/m]


О т в е т. [b]С(8;-7;-8); D (7;-10;12)[/b]