Задача 76884 РЕШИМ ВСЕ 1) y = x^2 y = 1/x x = 3 y...
Условие
1) y = x^2 y = 1/x x = 3 y = 0 точках Дви Дх
2) y = 3x y = 2 y=4 x=0 точких Дси Ду
Решение
Полученная фигура показана на рисунке 1, выделена желтым цветом.
Слева показан кусок второй ветки гиперболы y = 1/x, но она нам не нужна.
Фигура делится черной линией x = 1 на две фигуры, по двум кривым.
Поэтому объем тела будет равен сумме объемов:
V = V1(y1) + V2(y2)
Сам объем тела вращения вокруг оси Ox можно найти по формуле:
[m]V= \pi \int \limits_{a}^{b} y^2(x) dx[/m]
В нашем случае:
[m]V1= \pi \int \limits_{0}^{1} x^4 dx = \pi \cdot \frac{x^5}{5}|_{0}^{1} = \pi \cdot (\frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5}) = \frac{\pi}{5}[/m]
[m]V2= \pi \int \limits_{1}^{3} \frac{1}{x^2} dx = \pi \cdot (-\frac{1}{x}|_{1}^{3}) = \pi \cdot (-\frac{1}{3} + \frac{1}{1}) = \pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\pi}{3}[/m]
Итого объем тела:
[m]V=V1+V2 = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{15} + \frac{10\pi}{15} = \frac{13\pi}{15}[/m]
Ответ: V = 13π/15
2) y = 3x; y = 2; y = 4; x = 0, вращение вокруг оси Oy
Полученная фигура показана на рисунке 2, выделена желтым цветом.
Так как вращение происходит вокруг оси Oy, то берем обратную функцию:
x = y/3
Объем тела вращения вычисляется по формуле:
[m]V= \pi \int \limits_{a}^{b} x^2(y) dy[/m]
В нашем случае:
[m]V= \pi \int \limits_{2}^{4} \frac{y^2}{9} dy = \pi \cdot \frac{y^3}{27}|_{2}^{4} = \pi \cdot (\frac{4^2}{27} - \frac{2^3}{27}) = \pi \cdot (\frac{64}{27} - \frac{8}{27}) = \pi \cdot \frac{56}{27} = \frac{56\pi}{27}[/m]
Ответ: V = 56π/27
