Задача 76877 ...
Условие
Решение
Синус двойного угла:
[b]sin 2a = 2sin a*cos a[/b]
[m]2 \cdot \sin(\frac{\pi}{3}-2\beta) = 3 - 4\cos^2 \beta[/m]
Синус разности:
[b]sin (a - b) = sin a*cos b - cos a*sin b[/b]
[m]2(\sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos 2\beta - \cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin 2\beta) = 3 - 4\cos^2 \beta[/m]
[m]2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos 2\beta - \frac{1}{2} \cdot \sin 2\beta) = 3 - 4\cos^2 \beta[/m]
[m]\sqrt{3} \cos 2\beta - \sin 2\beta + 4\cos^2 \beta - 3 = 0[/m]
Это уравнение можно решить переходом к половинному аргументу, то есть β.
Основное тригонометрическое тождество:
[b]sin^2 a + cos^2 a = 1[/b]
Поэтому любое число можно выразить так:
[b]n = n*sin^2 a + n*cos^2 a[/b]
[m]\sqrt{3} (2\cos^2 \beta - 1) - 2\sin \beta \cdot \cos \beta+ 4\cos^2 \beta - 3\cos^2 \beta - 3\sin^2 \beta = 0[/m]
[m]2\sqrt{3} \cos^2 \beta - \sqrt{3} - 2\sin \beta \cdot \cos \beta+ \cos^2 \beta - 3\sin^2 \beta = 0[/m]
[m]2\sqrt{3} \cos^2 \beta - \sqrt{3}\sin^2 \beta - \sqrt{3} \cos^2 \beta - 2\sin \beta \cdot \cos \beta+ \cos^2 \beta - 3\sin^2 \beta = 0[/m]
[m]\cos^2 \beta(\sqrt{3} + 1) - \sin^2 \beta (\sqrt{3} + 3) - 2\sin \beta \cdot \cos \beta= 0[/m]
Поменяем знаки в этом уравнении:
[m](3+\sqrt{3})\sin^2 \beta + 2\sin \beta \cdot \cos \beta - (1+\sqrt{3})\cos^2 \beta= 0[/m]
Делаем самое главное действие в этом решении: Делим всё уравнение на cos^2 β:
[m](3+\sqrt{3})tg^2 \beta + 2tg \beta - (1+\sqrt{3}) = 0[/m]
Замена tg β = x
[m](3+\sqrt{3})x^2 + 2x - (1+\sqrt{3}) = 0[/m]
Получили квадратное уравнение, но с трудными коэффициентами.
[m]D/4 = 1^2 + (3+\sqrt{3})(1+\sqrt{3}) = 1+3+4\sqrt{3}+3 = 7 + 4\sqrt{3} = 4+4\sqrt{3}+3 = (2+\sqrt{3})^2[/m]
[m]x1 = \frac{-1 - 2-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \frac{-3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = -1[/m]
tg β = -1; [b]β1 = 3π/4 + π*n, n ∈ Z[/b]
[m]x2 = \frac{-1 + 2+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} =\frac{1+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \frac{(1+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} =\frac{3+3\sqrt{3}-\sqrt{3}-3}{9-3} =\frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}[/m]
tg β = sqrt(3)/3; [b]β2 = π/6 + π*k, k ∈ Z[/b]
Ответ: β1 = 3π/4 + π*n, n ∈ Z; β2 = π/6 + π*k, k ∈ Z