Номер 234. В прямоугольный треугольник с катетами, равными а и b, вписан прямоугольник наибольшей площади так, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. Найдите длины сторон прямоугольника.
АС=b
AB=√a2+b2
Рассматриваем подобные прямоугольные треугольники
KNC и АВС
KN: AB=KC:AC
KC=KN·AC/AB
KC=bx/√a2+b2
АК=AC–KC=b– ( bx/√a2+b2)
Рассматриваем подобные прямоугольные треугольники
AKL и АВС
AK:AB=KL:BC
KL=AK·BC/AB
KL=a·b(1– (x/√a2+b2) : √a2+b2
S=KN·KL
S(x)=x·a·b(1– (x/√a2+b2) : √a2+b2
S(x)=(x·√a2+b2–x2)· ab/(a2+b2)
Находим производную
S`(x)=(√a2+b2–2x)· ab/(a2+b2)
S`(x)=0
√a2+b2–2x=0
x=√a2+b2/2
y=ab·√a2+b2/2