Задача 76871 Ответ есть (на прикреплённом фото),...

65182de6c817f053fb6ff06d

14 апреля 2024 г. в 03:04

Ответ есть (на прикреплённом фото), нужно решение.

Номер 234. В прямоугольный треугольник с катетами, равными а и b, вписан прямоугольник наибольшей площади так, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. Найдите длины сторон прямоугольника.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

14 апреля 2024 г. в 06:20

★

BC=a
АС=b
AB=√a²+b²


Рассматриваем подобные прямоугольные треугольники

KNC и АВС

KN: AB=KC:AC

KC=KN·AC/AB

KC=bx/√a²+b²

АК=AC–KC=b– ( bx/√a²+b²)

Рассматриваем подобные прямоугольные треугольники

AKL и АВС

AK:AB=KL:BC

KL=AK·BC/AB

KL=a·b(1– (x/√a²+b²) : √a²+b²


S=KN·KL

S(x)=x·a·b(1– (x/√a²+b²) : √a²+b²

S(x)=(x·√a²+b²–x²)· ab/(a²+b²)

Находим производную

S`(x)=(√a²+b²–2x)· ab/(a²+b²)

S`(x)=0

√a²+b²–2x=0

x=√a²+b²/2

y=ab·√a²+b²/2