b) y' – y/(x + 2) = x2 + 2x, y(–1) = 3/2
Уравнение с разделяющимися переменными:
y\sqrt{1-x^2}dy = -x \sqrt{1-y^2}dx
\frac{ydy}{\sqrt{1-y^2}} = -\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}
Берем интегралы от левой и правой части:
-\int \frac{ydy}{\sqrt{1-y^2}} = \int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}
Интегралы одинаковые, решаем заменой
1 – y2 = t; dt = –2ydy; ydy = –1/2 dt
-\int \frac{ydy}{\sqrt{1-y^2}} = \int \frac{dt}{2\sqrt{t}} = \sqrt{t} = \sqrt{1 - y^2}
\int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}} = -\int \frac{dt}{2\sqrt{t}} = -\sqrt{t}+C = -\sqrt{1 - x^2} + C
Получаем:
\sqrt{1 - y^2} = -\sqrt{1 - x^2} + \sqrt{C}
Я бы оставил так, в неявном виде, но можно и перевести в явный вид:
1 - y^2 = (-\sqrt{1 - x^2} + \sqrt{C})^2
1 - y^2 = 1 - x^2 - 2\sqrt{C(1 - x^2)} + C
y^2 = x^2 + 2\sqrt{C(1 - x^2)} - C
Общее решение:
y = \sqrt{x^2 + 2\sqrt{C(1 - x^2)} - C}
Решаем задачу Коши при условии: y(1) = 0
\sqrt{1^2 + 2\sqrt{C(1 - 1^2)} - C} = 0
\sqrt{1 + 2 \cdot 0 - C} = 0
1 - C = 0
C=1
Решение задачи Коши:
y = \sqrt{x^2 + 2\sqrt{1 - x^2} - 1}
б) y'-\frac{y}{x+2} = x^2 + 2x;\ y(-1) = \frac{3}{2}
Неоднородное уравнение 1 порядка, решается заменой:
y = uv; y' = u'v + uv'
u'v + uv' -\frac{uv}{x+2} = x^2 + 2x; y(-1) = \frac{3}{2}
Выносим u за скобки:
u'v + u(v' -\frac{v}{x+2}) = x^2 + 2x; y(-1) = \frac{3}{2}
Приравниваем скобку к 0:
v' -\frac{v}{x+2} = 0
\frac{dv}{dx} = \frac{v}{x+2}
Уравнение с разделяющимися переменными:
\frac{dv}{v} = \frac{dx}{x+2}
\ln |v| = \ln |x+2|
v=x+2
Подставляем в наше уравнение:
u'v + u(v' -\frac{v}{x+2}) = x^2 + 2x; y(-1) = \frac{3}{2}
u'(x+2) + u \cdot 0 = x^2 + 2x
u'(x+2) = x(x + 2)
u' = x
u = x2/2 + C
Возвращаемся к функции y:
y = uv
Общее решение:
y = (x+2)(x2/2 + C)
Решаем задачу Коши при условии y(–1) = 3/2:
(–1+2)((–1)2/2 + C) = 3/2
1(1/2 + C) = 3/2
C = 1
Решение задачи Коши:
y = (x+2)(x2/2 + 1)