Задача 76841 ...

teofan1to

13 апреля 2024 г. в 08:06

a) x√(1 – y²)dx + y√(1 – x²)dy = 0, y(1) = 0
b) y' – y/(x + 2) = x² + 2x, y(–1) = 3/2

Удачник66

13 апреля 2024 г. в 08:51

★

а) $x \sqrt{1-y^2}dx+ y\sqrt{1-x^2}dy = 0;\ y(1) = 0$
Уравнение с разделяющимися переменными:
$y\sqrt{1-x^2}dy = -x \sqrt{1-y^2}dx$
$\frac{ydy}{\sqrt{1-y^2}} = -\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}$
Берем интегралы от левой и правой части:
$-\int \frac{ydy}{\sqrt{1-y^2}} = \int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}$
Интегралы одинаковые, решаем заменой
1 – y² = t; dt = –2ydy; ydy = –1/2 dt
$-\int \frac{ydy}{\sqrt{1-y^2}} = \int \frac{dt}{2\sqrt{t}} = \sqrt{t} = \sqrt{1 - y^2}$
$\int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}} = -\int \frac{dt}{2\sqrt{t}} = -\sqrt{t}+C = -\sqrt{1 - x^2} + C$
Получаем:
$\sqrt{1 - y^2} = -\sqrt{1 - x^2} + \sqrt{C}$
Я бы оставил так, в неявном виде, но можно и перевести в явный вид:
$1 - y^2 = (-\sqrt{1 - x^2} + \sqrt{C})^2$
$1 - y^2 = 1 - x^2 - 2\sqrt{C(1 - x^2)} + C$
$y^2 = x^2 + 2\sqrt{C(1 - x^2)} - C$
Общее решение:
$y = \sqrt{x^2 + 2\sqrt{C(1 - x^2)} - C}$

Решаем задачу Коши при условии: y(1) = 0
$\sqrt{1^2 + 2\sqrt{C(1 - 1^2)} - C} = 0$
$\sqrt{1 + 2 \cdot 0 - C} = 0$
$1 - C = 0$
$C=1$
Решение задачи Коши:
$y = \sqrt{x^2 + 2\sqrt{1 - x^2} - 1}$

б) $y'-\frac{y}{x+2} = x^2 + 2x;\ y(-1) = \frac{3}{2}$
Неоднородное уравнение 1 порядка, решается заменой:
y = uv; y' = u'v + uv'
$u'v + uv' -\frac{uv}{x+2} = x^2 + 2x; y(-1) = \frac{3}{2}$
Выносим u за скобки:
$u'v + u(v' -\frac{v}{x+2}) = x^2 + 2x; y(-1) = \frac{3}{2}$
Приравниваем скобку к 0:
$v' -\frac{v}{x+2} = 0$
$\frac{dv}{dx} = \frac{v}{x+2}$
Уравнение с разделяющимися переменными:
$\frac{dv}{v} = \frac{dx}{x+2}$
$\ln |v| = \ln |x+2|$
v=x+2
Подставляем в наше уравнение:
$u'v + u(v' -\frac{v}{x+2}) = x^2 + 2x; y(-1) = \frac{3}{2}$
$u'(x+2) + u \cdot 0 = x^2 + 2x$
$u'(x+2) = x(x + 2)$
$u' = x$
u = x²/2 + C
Возвращаемся к функции y:
y = uv
Общее решение:
y = (x+2)(x²/2 + C)

Решаем задачу Коши при условии y(–1) = 3/2:
(–1+2)((–1)²/2 + C) = 3/2
1(1/2 + C) = 3/2
C = 1
Решение задачи Коши:
y = (x+2)(x²/2 + 1)