Задача 76792 Составить канонические уравнения: а)...

65e8b600ccd52978ffcae817

4/10/2024 1:54:39 PM

Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы (А, В точки, лежащие на кривой, F - фокус, a- большая (действительная) полу- ось, в малая (мнимая) полуось, 8 - эксцентриситет, y=\pm kx- асимптот гиперболы,гиперболы , кривой, 2c- фокусное расстояние

626fab9a354ab65fb2f43abb

4/10/2024 4:13:48 PM

★

Попробую решить 1.15, он кажется самым трудным.
а) A(-sqrt(17/3); 1/3); B(sqrt(21)/2; 1/2); кривая - эллипс.
Каноническое уравнение эллипса:
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
Подставляем координаты точек A и B:
{ (17/3) / a^2 + (1/9) / b^2 = 1
{ (21/4) / a^2 + (1/4) / b^2 = 1
Умножаем 1 уравнение на 9, а 2 уравнение на 4:
{ 51/a^2 + 1/b^2 = 9
{ 21/a^2 + 1/b^2 = 4
Вычитаем из 1 уравнения 2 уравнение:
30/a^2 = 5
[b]a^2 = 6[/b]
Подставляем в любое уравнение:
21/6 + 1/b^2 = 4
1/b^2 = 4 - 21/6 = 24/6 - 21/6 = 3/6 = 1/2
[b]b^2 = 2[/b]
Уравнение эллипса:
[b]x^2/6 + y^2/2 = 1[/b]

б) k = 1/2; ε = sqrt(5)/2; кривая - гипербола.
Каноническое уравнение гиперболы:
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
Уравнения асимптот гиперболы:
y = ± kx, где k = b/a = 1/2
c = sqrt(a^2 + b^2) - половина межфокусного расстояния.
Координаты фокусов: F1(-c; 0); F2(c; 0)
Эксцентриситет:
ε = c/a = sqrt(5)/2
Составляем систему:
{ b/a = 1/2
{ sqrt(a^2 + b^2)/a = sqrt(5)/2
Отсюда:
{ a = 2
{ b = a/2 = 1
Уравнение гиперболы:
[b]x^2/4 - y^2/1 = 1[/b]

в) D: y = -1; кривая - парабола.
Так как уравнение директрисы:
y = -1, то:
Каноническое уравнение параболы:
x^2 = 2py
Уравнение директрисы параболы в этом случае:
y = -p/2 = -1
p = 2
Уравнение параболы:
[b]x^2 = 4y[/b]