y'' – 4y' + 4y = f(x)
Структура решения неоднородного уравнения может зависеть от решения характеристического уравнения в однородном уравнении.
Однородное уравнение:
y'' – 4y' + 4y = 0
Характеристическое уравнение:
k2 – 4k + 4 = 0
(k – 2)2 = 0
k1 = k2 = 2
Решение однородного уравнения:
y(о) = e2x·(C1·x + C2)
а) f(x) = sin 2x + 2ex
Есть член ex, то есть a = 1 (коэффициент при x в показателе)
k = 1 не является корнем характеристического уравнения, поэтому:
y(н) = A·sin 2x + B·cos 2x + C·ex
б) f(x) = x2 – 4
k = 0 не является корнем характеристического уравнения, поэтому:
y(н) = Ax2 + Bx + C