Задача 76677 y''-4y'+4y=f(x) a) f(x)=sin2x+2e^x б)...

Igris

4 апреля 2024 г. в 05:26

y''–4y'+4y=f(x) a) f(x)=sin2x+2e^x б) f(x)=x²–4 Определить и записать структуру частного решения у· линейного неоднородного дифференциального урав– нения по видуФункции f(х).

Удачник66

4 апреля 2024 г. в 07:36

★

Структура частного решения неоднородного диф. уравнения:
y'' – 4y' + 4y = f(x)
Структура решения неоднородного уравнения может зависеть от решения характеристического уравнения в однородном уравнении.
Однородное уравнение:
y'' – 4y' + 4y = 0
Характеристическое уравнение:
k² – 4k + 4 = 0
(k – 2)² = 0
k1 = k2 = 2
Решение однородного уравнения:
y(о) = e^2x·(C1·x + C2)

а) f(x) = sin 2x + 2e^x
Есть член e^x, то есть a = 1 (коэффициент при x в показателе)
k = 1 не является корнем характеристического уравнения, поэтому:
y(н) = A·sin 2x + B·cos 2x + C·e^x

б) f(x) = x² – 4
k = 0 не является корнем характеристического уравнения, поэтому:
y(н) = Ax² + Bx + C