Задача 76643 4. В нижнем основании цилиндра проведена...

660cf0b7559e3e5a174ee7de

4/3/2024 6:02:10 AM

4. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, длина которой равна в. Эта хорда видна из центра нижнего основания под углом В, а отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой проведённой хорды, образует с плоскостью основания угол а. Найдите объём цилиндра.

626fab9a354ab65fb2f43abb

4/3/2024 7:58:25 AM

★

Смотрите рисунки.
На рис. 1 изображено нижнее основание.
Длина хорды AC = b.
Угол, под которым видна хорда из центра основания - это есть центральный угол, и он равен B.
Треугольник Δ ACO2 - равнобедренный, O2A = O2C = R
Из теоремы косинусов можно найти R:
b^2 = R^2 + R^2 - 2*R*R*cos B
b^2 = 2R^2 - 2R^2*cos B
b^2 = R^2*(2 - 2cos B)
R^2 = b^2/(2 - 2cos B)
[b][m]R = \frac{b}{\sqrt{2 - 2\cos B}}[/m][/b]

Далее, в прямоугольном Δ O2MC из теоремы Пифагора найдём O2M:
O2M^2 = O2C^2 - MC^2
O2M^2 = R^2 - (b/2)^2
[m]O2M^2 = \frac{b^2}{2 - 2\cos B} - \frac{b^2}{4} = \frac{2b^2 - b^2(1 - \cos B)}{4-4\cos B} = \frac{b^2(1 + \cos B)}{4(1-\cos B)} =[/m]
[m]= \frac{b^2}{4} \cdot \frac{(1 + \cos B)(1 + \cos B)}{(1-\cos B)(1 + \cos B)} = \frac{b^2}{4} \cdot \frac{(1 + \cos B)^2}{1-\cos^2 B} = \frac{b^2}{4} \cdot \frac{(1 + \cos B)^2}{\sin^2 B} [/m]
[b]O2M = b(1 + cos B)/(2sin B)[/b]


Теперь найдем высоту цилиндра H из прямоугольного Δ O1O2M.
tg a = O1O2/O2M = H/O2M
H = O2M*tg a
[b]H = b(1 + cos B)*tg a/(2sin B)[/b]

И, наконец, зная радиус и высоту цилиндра, найдём его объём:
V = π*R^2*H = π*b^2/(2 - 2cos B)*b(1 + cos B)*tg a/(2sin B)
[m]V = \pi \cdot b^3 \cdot \frac{(1 + \cos B)tg(a)}{(2 - 2\cos B)2\sin B} = \frac{\pi}{4} \cdot b^3 \cdot \frac{(1 + \cos B)tg(a)}{\sin B(1 - \cos B)}[/m]