Задача 76387 24...

651bee46059c7665b6af7e53

3/19/2024 4:17:53 AM

24

626fab9a354ab65fb2f43abb

3/19/2024 8:35:36 AM

★

24) (x+a_1)(x+a_2)...(x+a_(n)) = x^(n) + (a_1+a_2+...+a_(n))x^(n-1) + (a_1a_2+a_1a_3+...+a_(n-1)a_(n))x^(n-2) + ... + a_1a_2...a_(n)
Вообще-то это следует из правил умножения многочленов, и доказывать это через мат. индукцию не имеет смысла.
Но попробуем.
Для n = 1 имеем:
x + a_1 = x^1 + a_1 - верно.
Для n = 2 имеем:
(x+a_1)(x+a_2) = x*x + a_1*x + x*a_2 + a_1*a_2 = x^2 + (a_1+a_2)x + a_1a_2
Верно.
Предположим, что это равенство верно при каком-то n.
Докажем, что оно также верно при n+1.
(x+a_1)(x+a_2)...(x+a_(n))*(x+a_(n+1)) = (x^(n) + (a_1+a_2+...+a_(n))x^(n-1) + (a_1a_2+a_1a_3+...+a_(n-1)a_(n))x^(n-2) + ... + a_1a_2...a_(n))*(x+a_(n+1)) =

= x^(n+1) + (a_1+a_2+...+a_(n))x^(n) + (a_1a_2+a_1a_3+...+a_(n-1)a_(n))x^(n-1) + ... +
+ a_1a_2...a_(n)*x + x^(n)*a_(n+1) + (a_1+a_2+...+a_(n))x^(n-1)*a_(n+1) +
+ (a_1a_2+a_1a_3+...+a_(n-1)a_(n))x^(n-2)*a_(n+1) + ... + a_1a_2...a_(n)*a_(n+1) =

= x^(n+1) + (a_1+a_2+...+a_(n)+a_(n+1))x^(n) + (a_1a_2+a_1a_3+...+
+a_(n-1)a_(n)+a_1a_(n+1)+a_2a_(n+1)+...+a_(n)a_(n+1))x^(n-1) + ... + a_1a_2...a_(n+1)

Что и требовалось доказать.