Задача 76329 [m]\sqrt{x-\frac{1}{5}}+\sqrt{y-\frac{1}{5}}=\sqrt{5}[/m]...
Условие
Решение
[m]\sqrt{\frac{5x-1}{5}}+\sqrt{\frac{5y-1}{5}}=\sqrt{5}[/m]
[m]\frac{\sqrt{5x-1}}{\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{5y-1}}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}[/m]
Умножаем всё на sqrt(5):
sqrt(5x-1) + sqrt(5y-1) = 5
Так как корни арифметические (неотрицательные), появляется условие:
[b]sqrt(5x-1) < 5; sqrt(5y-1) < 5[/b]
Выразим один корень через другой:
sqrt(5y-1) = 5 - sqrt(5x-1)
Возводим в квадрат левую и правую часть
5y - 1 = 25 - 10sqrt(5x-1) + 5x - 1
10sqrt(5x-1) = 25 + 5x - 5y
Делим всё на 5:
2sqrt(5x-1) = 5 + x - y
Возводим опять в квадрат:
4(5x - 1) = (5 + x - y)^2
20x - 4 = 25 + x^2 + 10x - 10y - 2xy + y^2
x^2 - 2xy + y^2 + 29 = 10x + 10y
(x - y)^2 + 29 = 10(x + y)
Чтобы левая часть была кратна 10, (x - y)^2 должно кончаться на 1.
Это уравнение имеет бесконечное множество решений.
1) x - y = -1
(x - y)^2 + 29 = 1 + 29 = 30
x + y = 3
x = 1; y = 2
2) x - y = 1
(x - y)^2 + 29 = 1 + 29 = 30
x + y = 3
x = 2; y = 1
3) x - y = -9
(x - y)^2 + 29 = 81 + 29 = 110
x + y = 11
x = 1; y = 10
4) x - y = 9
(x - y)^2 + 29 = 81 + 29 = 110
x + y = 11
x = 10; y = 1
И так далее.
Но должно соблюдаться условие:
sqrt(5x-1) < 5; sqrt(5y-1) < 5, поэтому решений только два:
Ответ: (1; 2); (2; 1)