Задача 76328 ...

65e2f24ed453197203cf9544

3/15/2024 5:40:55 PM

lim (n→∞) (1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + ... + 1/(n·(n+1)))

626fab9a354ab65fb2f43abb

3/17/2024 11:08:56 AM

★

[m]\frac{1}{n(n+1)} = \frac{n+1-n}{n(n+1)} = \frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)}= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}[/m]
Поэтому предел:
[m]\lim \limits_{n \to \infty} (\frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{n(n+1)}) =[/m]
[m]= \lim \limits_{n \to \infty} (\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})[/m]
Все одинаковые дроби вычитаются, остаются первая и последняя:
[m]= \lim \limits_{n \to \infty} (\frac{1}{1} - \frac{1}{n+1}) =\frac{1}{1} - 0 = 1[/m]