Задача 76305 ...
Условие
125 · 75^x - 2 · 15^(x+1) + 3^x - 125 · 50^x + 30 · 10^x - 2 · 2^(x-1) ≥ 0
Решение
125*(3*5^2)^(x) - 2*15*(3*5)^(x) + 3^(x) - 125*(2*5^2)^(x) + 30*(2*5)^(x) - 2*1/2*2^(x) ≥ 0
125*3^(x)*5^(2x) - 30*3^(x)*5^(x) + 3^(x) - 125*2^(x)*5^(2x) + 30*2^(x)*5^(x) - 2^(x) ≥ 0
125*5^(2x)*(3^(x) - 2^(x)) - 30*5^(x)*(3^(x) - 2^(x)) + (3^(x) - 2^(x)) ≥ 0
Раскладываем на множители:
(3^(x) - 2^(x))*(125*5^(2x) - 30*5^(x) + 1) ≥ 0
1) Если x < 0, то 3^(x) - 2^(x) < 0, тогда
125*5^(2x) - 30*5^(x) + 1 ≤ 0
Замена 5^(x) = t > 0 при любом x
125t^2 - 30t + 1 ≤ 0
D/4 = (-15)^2 - 125*1 = 225 - 125 = 100 = 10^2
t1 = 5^(x) = (15 - 10)/125 = 5/125 = 1/25 = 5^(-2)
x1 = -2 < 0 - подходит.
t2 = 5^(x) = (15 + 10)/125 = 25/125 = 1/5 = 5^(-1)
x2 = -1 < 0 - подходит.
Решение:
x1 ∈ [-2; -1]
2) Если x = 0, то 3^(x) - 2^(x) = 0 - это тоже решение.
x2 = 0
3) Если x > 0, то 3^(x) - 2^(x) > 0, тогда
125*5^(2x) - 30*5^(x) + 1 ≥ 0
Замена 5^(x) = t > 0 при любом x
125t^2 - 30t + 1 ≥ 0
Решаем это неравенство так же, как в п. 1). Решение:
x ∈ (-oo; -2] U [-1; +oo)
Но, учитывая условие x > 0, получаем:
x3 ∈ (0; +oo)
Ответ: [-2; -1] U [0; +oo)