Задача 76276 Найдите решение в целых числах sqrt(x -...
Условие
sqrt(x - 1/5) + sqrt(y - 1/5) = sqrt(5)
Решение
Решить в целых числах.
Область определения корня:
{ x - 1 ≥ 0
{ y - 1 ≥ 0
Получаем ОДЗ:
x ≥ 1; y ≥ 1
Значит, x и y - не просто целые, а натуральные числа.
Решаем уравнение. Возводим в квадрат обе части:
[m]\frac{x-1}{5} + \frac{y-1}{5} + 2\sqrt{\frac{x-1}{5}} \cdot \sqrt{\frac{y-1}{5}} = 5[/m]
[m]\frac{x-1}{5} + \frac{y-1}{5} + 2\frac{\sqrt{(x-1)(y-1)}}{5} = 5[/m]
Умножаем на 5:
x - 1 + y - 1 + 2sqrt((x - 1)(y - 1)) = 25
2sqrt((x - 1)(y - 1)) = 27 - x - y
Снова возводим в квадрат обе части:
4(x - 1)(y - 1) = (27 - x - y)^2
4(xy - x - y + 1) = 729 + x^2 + y^2 - 54x - 54y + 2xy
x^2 + y^2 + 2xy - 54x - 54y + 729 = 4xy - 4x - 4y + 4
x^2 + y^2 - 2xy - 50x - 50y + 725 = 0
x^2 - 2xy + y^2 = 50x + 50y - 725
(x - y)^2 = 25(2x + 2y - 29)
Извлекаем квадратный корень:
x - y = 5sqrt(2x + 2y - 29)
Если x и y - натуральные числа, то:
{ x - y = 5a (разность делится на 5)
{ 2x + 2y - 29 = b^2 (это выражение есть квадрат натурального числа)
Подбираем:
1) x - y = 5; y = x - 5
2x + 2y - 29 = 2x + 2x - 10 - 29 = 4x - 39 = b^2
4x = b^2 + 39
Если b^2 - четное, то сумма будет нечетная.
Значит, b^2 - нечетные квадраты.
Берем b^2 = 1 = 1^2, тогда 4x = 1 + 39 = 40
[b]x = 10, y = 5[/b]
2x + 2y - 29 = 20 + 10 - 29 = 1 = 1^2
Берем b^2 = 9 = 3^2, тогда 4x = 9 + 39 = 48
[b]x = 12, y = 7[/b]
2x + 2y - 29 = 22 + 12 - 29 = 9 = 3^2
Берем b^2 = 25 = 5^2, тогда 4x = 25 + 39 = 64
[b]x = 16, y = 11[/b]
2x + 2y - 29 = 32 + 22 - 29 = 25 = 5^2
И так далее.
2) x - y = 10; y = x - 10
2x + 2y - 29 = 2x + 2x - 20 - 29 = 4x - 49 = b^2
4x = b^2 + 49
В этом варианте натуральных решений нет.
При любом четном b^2 сумма b^2 + 49 нечетная.
При любом нечетном b^2 сумма b^2 + 49 четная, но не делится на 4.
3) x - y = 15; y = x - 15
2x + 2y - 29 = 2x + 2x - 30 - 29 = 4x - 59 = b^2
4x = b^2 + 59
Берем b^2 = 1 = 1^2, тогда 4x = 1 + 59 = 60
[b]x = 15, y = 0[/b]
Этот вариант нам не подходит.
Берем b^2 = 9 = 3^2, тогда 4x = 9 + 59 = 68
[b]x = 17, y = 2[/b]
2x + 2y - 29 = 34 + 4 - 29 = 9 = 3^2
Берем b^2 = 25 = 5^2, тогда 4x = 25 + 59 = 84
[b]x = 21, y = 6[/b]
2x + 2y - 29 = 42 + 12 - 29 = 25 = 5^2
Берем b^2 = 49 = 7^2, тогда 4x = 49 + 59 = 108
[b]x = 27, y = 12[/b]
2x + 2y - 29 = 54 + 24 - 29 = 49 = 7^2
И так далее.
В общем, решений бесконечное множество.