Задача 76207 2...

649c62f0b729e86fbf530d0c

3/10/2024 9:05:38 AM

2

626fab9a354ab65fb2f43abb

3/10/2024 12:10:47 PM

★

a(n) = 5*2^(3n-2) + 3^(3n-1) делится на 19 при любом натуральном n ≥ 1
Попробуем доказать методом математической индукции.
При n = 1 получается:
a(1) = 5*2^(3-2) + 3^(3-1) = 5*2 + 3^2 = 10 + 9 = 19 - делится на 19.
Пусть при каком-то n выражение a(n) делится на 19.
Докажем, что a(n+1) тоже делится на 19:
a(n+1) = 5*2^(3(n+1)-2) + 3^(3(n+1)-1) = 5*2^(3n+3-2) + 3^(3n+3-1) = 5*2^(3n+1) + 3^(3n+2)
Найдем разность выражений a(n+1) - 8*a(n):
a(n+1) - 8*a(n) = 5*2^(3n+1) + 3^(3n+2) - 8*5*2^(3n-2) - 8*3^(3n-1) =
= 5*2^(3n-2)*(2^3 - 8) + 3^(3n-1)*(3^3 - 8) =
= 5*2^(3n-2)*0 + 3^(3n-1)*(27 - 8) = 3^(3n-1)*19
Так как a(n) по условию делится на 19, то и 8*a(n) делится на 19.
А так как разность a(n+1) - 8*a(n) = 3^(3n-1)*19 тоже делится на 19,
то и a(n+1) делится на 19.

По методу математической индукции, если выражение a(1) делится на 19,
выражение a(n) делится на 19 и выражение a(n+1) делится на 19,
то считается доказанным, что a(n) делится на 19 при любом n ≥ 1.