Задача 76204 Найти все значения х ‚ при каждом из...
Условие
Решение
Раскроем скобки в данном неравенстве:
2 - а - х^3 + 1 - 2а - х^2 - 6а + 5 + 4а - а^2 < 0
Упростим:
-х^3 - х^2 - 9а + 8 - а^2 < 0
Для того, чтобы решить это неравенство, разберемся с каждым слагаемым отдельно.
Так как коэффициент при x^3 равен -1, то если его знак меняется, то неравенство меняет свое направление. Нам нужно определить, когда это происходит.
Для этого найдем точки, в которых производная данного выражения равна нулю:
f'(х) = -3х^2 - 2х = 0
х(-3х - 2) = 0
Отсюда получаем две точки: х = 0 и х = -2/3.
Теперь построим знаки данного выражения на числовой прямой вокруг найденных точек:
-∞ ----[ х = -2/3 ]----[ х = 0 ]----(+∞)
Посмотрим на знаки при слагаемых:
-х^3 < 0 при x < 0 и х > -2/3
-х^2 < 0 при x < 0
-9а < 0 при -∞ < а < +∞
-а^2 < 0 при -∞ < а < +∞
8 > 0
Знак минус перед слагаемыми при x < 0 и x > -2/3 говорит о том, что неравенство меняет свое направление в этих интервалах. А так как слагаемые с а имеют знак -, то неравенство будет выполняться, когда а принадлежит отрезку [-1; 2].
Таким образом, все значения x, при которых данное неравенство выполняется хотя бы при одном значении а, принадлежат интервалам: (-∞; -2/3) и (0; +∞), а при а принадлежащем отрезку [-1; 2].