Задача 76203 28) Как располагаются векторы,...

студент

9 марта 2024 г. в 06:33

28) Как располагаются векторы, изображающие два
комплексных числа, если модуль суммы этих чисел
равен разности модулей?
29) Что можно сказать о комплексных числах, для которых
соответствующие точки расположены на прямой,
параллельной оси
x
?
30) Как изменится модуль и аргумент комплексного числа
z
в результате умножения его на
2i
?
31) При каких условиях модуль разности двух комплексных
чисел равен сумме модулей уменьшаемого и
вычитаемого?
32) Как изменится модуль и аргумент комплексного числа
z
в результате умножения его на
(–3i)
?
33) Как изменится модуль и аргумент комплексного числа
z
в результате деления его на
4i
?

Удачник66

9 марта 2024 г. в 07:14

★

28) Эти вектры противоположно направлены.
29) У этих точек мнимые части одинаковы.
z1 = a1 + i·b; z2 = a2 + i·b
30) При умножении числа на 2i его модуль увеличится в 2 раза,
а аргумент увеличится на π/2.

31) Пусть z1 = a1 + b1·i, z2 = a2 + b2·i
|z1| = √a1² + b1²; |z2| = √a2² + b2²
Тогда z1 – z2 = (a1 – a2) + i·(b1 – b2)
|z1 – z2| = √(a1 – a2)² + (b1 – b2)²
|z1 – z2| = √a1² – 2·a1·a2 + a2² + b1² – 2·b1·b2 + b2²
По условию:
√a1² – 2·a1·a2 + a2² + b1² – 2·b1·b2 + b2² =
= √a1² + b1² + √a2² + b2²
Возводим в квадрат:
a1² – 2·a1·a2 + a2² + b1² – 2·b1·b2 + b2² =
= a1² + b1² + a2² + b2² + 2·√(a1² + b1²)(a2² + b2²)
Приводим подобные:
– 2·a1·a2 – 2·b1·b2 = 2·√(a1² + b1²)(a2² + b2²)
Делим на 2:
– a1·a2 – b1·b2 = √(a1² + b1²)(a2² + b2²)
Значит, 1 условие:
– a1·a2 – b1·b2 > 0
a1·a2 + b1·b2 < 0
Снова взводим в квадрат:
(– a1·a2 – b1·b2)² = (a1² + b1²)(a2² + b2²)
a1²·a2² + 2a1·a2·b1·b2 + b1²·b2² =
= a1²·a2² + b1²·a2² + a1²·b2² + b1²·b2²
Приводим подобные:
2a1·a2·b1·b2 = b1²·a2² + a1²·b2²
Переносим всё направо:
0 = b1²·a2² + a1²·b2² – 2a1·a2·b1·b2
(a1·b2 – a2·b1)² = 0
a1·b2 – a2·b1 = 0
Второе условие:
a1·b2 = a2·b1
Ответ: a1·a2 + b1·b2 < 0; a1·b2 = a2·b1

32) При умножении числа на (–3i) модуль увеличится в 3 раза,
а аргумент уменьшится на π/2.
33) При делении числа на 4i его модуль уменьшится в 4 раза,
а аргумент уменьшится на π/2.