Задача 76121 ...
Условие
Решение
[m](5-2x) \cdot \log_{x-1}(-x^2+4x-3) ≥ 0[/m]
Область определения функции логарифма:
{ x - 1 > 0
{ x - 1 ≠ 1
{ -x^2 + 4x - 3 > 0
Решаем:
{ x > 1
{ x ≠ 2
{ -(x - 1)(x - 3) > 0
Так как x - 1 > 0, то в 3 неравенстве:
{ x ∈ (1; 2) U (2; +oo)
{ x - 3 < 0
Область определения:
D(X) = (1; 2) U (2; 3)
Теперь решаем неравенство.
Заметим сразу, что если 5 - 2x = 0, то есть x = 2,5,
то неравенство выполняется, левая часть равна 0.
Поэтому [b]x1 = 2,5[/b] - это решение.
Далее, при x ≠ 2,5 воспользуемся свойством логарифма:
[m]\log_{a}(b) = \frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)}[/m]
Переходим к натуральным логарифмам:
[m](5-2x) \cdot \frac{\ln(-x^2+4x-3)}{\ln(x-1)} ≥ 0[/m]
При x ≤ 2,5 будет 5 - 2x ≥ 0, тогда получаем 2 варианта:
1)
{ ln(-x^2 + 4x - 3) ≤ 0
{ ln(x - 1) < 0
{ x < 2,5
Решаем:
{ -x^2 + 4x - 3 ≤ 1
{ x - 1 < 1
{ x < 2,5
В 1 неравенстве переносим всё направо и раскладываем на множители:
{ (x - 2)^2 ≥ 0
{ x < 2
{ x < 2,5
1 неравенство выполняется всегда, поэтому решение:
[b]x2 ∈ (1; 2)[/b]
2)
{ ln(-x^2 + 4x - 3) ≥ 0
{ ln(x - 1) > 0
{ x < 2,5
Решаем:
{ -x^2 + 4x - 3 ≥ 1
{ x - 1 > 1
{ x < 2,5
Получаем:
{ (x - 2)^2 ≤ 0
{ x > 2
{ x < 2,5
1 неравенство выполняется только при x = 2 ∉ D(X)
Поэтому в этом варианте решений нет.
При x > 2,5 будет 5 - 2x < 0, тогда получаем 2 варианта:
1)
{ ln(-x^2 + 4x - 3) ≤ 0
{ ln(x - 1) > 0
{ x > 2,5
Решаем:
{ -x^2 + 4x - 3 ≤ 1
{ x - 1 > 1
{ x > 2,5
Получаем:
{ (x - 2)^2 ≥ 0
{ x > 2
{ x > 2,5
1 неравенство выполняется всегда, поэтому решение:
[b]x3 ∈ (2,5; 3)[/b]
2)
{ ln(-x^2 + 4x - 3) ≥ 0
{ ln(x - 1) < 0
{ x > 2,5
Решаем:
{ -x^2 + 4x - 3 ≥ 1
{ x - 1 < 1
{ x > 2,5
Получаем:
{ (x - 2)^2 ≤ 0
{ x < 2
{ x > 2,5
1 неравенство выполняется только при x = 2 ∉ D(x)
2 и 3 неравенства противоречат друг другу.
Поэтому в этом варианте решений нет.
Ответ: x ∈ (1; 2) U [2,5; 3)