Задача 76114 ax+ b y =2\\ \\ b/x + ay =2ab...
Условие
Решение
{ ax + by = 2
{ b/x + ay = 2ab
Видимо, ее надо решить относительно переменных x и y.
Можно решить подстановкой.
{ y = (2 - ax)/b
{ b/x + a(2 - ax)/b = 2ab
Область определения для дробей:
[b]b ≠ 0, x ≠ 0[/b]
Умножаем 2 уравнение на b и на x:
b^2 + ax(2 - ax) = 2ab
Раскрываем скобки во 2 уравнении:
b^2 + 2ax - a^2x^2 = 2ab
Переносим всё направо:
0 = a^2x^2 - 2ax + 2ab - b^2 [b](1)[/b]
Получили квадратное уравнение:
D/4 = a^2 - a^2(2ab - b^2) = a^2 + a^2b^2 - 2a^3b
Если D/4 < 0, то решений нет.
Если D/4 = 0, то есть одно решение, точнее, два равных.
x = a/a^2 = 1/a; y = (2 - a*1/a)/b = (2-1)/b = 1/b
Если D/4 > 0, то есть два разных решения.
[m]x1 = \frac{a - \sqrt{D/4}}{a^2} = \frac{a - \sqrt{a^2 + a^2b^2 - 2a^3b}}{a^2} = \frac{a - a\sqrt{b^2 - 2ab + 1}}{a^2} = \frac{1 - \sqrt{b^2 - 2ab + 1}}{a}[/m]
[m]y1= \frac{2-ax}{b} = \frac{1 + \sqrt{b^2 - 2ab + 1}}{b}[/m]
[m]x2 = \frac{a + \sqrt{D/4}}{a^2} = \frac{a + \sqrt{a^2 + a^2b^2 - 2a^3b}}{a^2} = \frac{a + a\sqrt{b^2 - 2ab + 1}}{a^2} = \frac{1 + \sqrt{b^2 - 2ab + 1}}{a}[/m]
[m]y2= \frac{2-ax}{b} = \frac{1 - \sqrt{b^2 - 2ab + 1}}{b}[/m]
Найдем условие, при котором есть одно решение:
a^2 + a^2b^2 - 2a^3*b = 0 [b](2)[/b]
Перепишем это так:
a^2(1 + b^2 - 2ab) = 0
Если a = 0, то b= 0 - не подходит.
b^2 - 2ab + 1 = 0
D/4 = (-a)^2 - 1 = a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)
Если D/4 < 0, то решений нет.
Если D/4 = 0, то есть если a1 = -1 или a2 = 1, то решение одно:
1) a1 = -1;
b^2 - 2(-1)b + 1 = 0
b^2 + 2b + 1 = 0
(b + 1)^2 = 0
b1 = -1;
2) a2 = 1
b^2 - 2*1b + 1 = 0
b^2 - 2b + 1 = 0
(b - 1)^2 = 0
b2 = 1
Тогда: x1 = 1/a = -1; y1 = 1/b = -1; x2 = 1/a = 1; y2 = 1/b = 1
Ответ:
При b = 0 решений нет.
При b^2 - 2ab + 1 < 0 решений нет.
При a ∈ (-1; 1) решений нет.
При b^2 - 2ab + 1 = 0 одно решение: [b]x = 1/a; y = 1/b[/b]
Это бывает при a1 = -1; b1 = -1; a2 = 1; b2 = 1
При b^2 - 2ab + 1 > 0 два решения:
[m]x1 = \frac{1 - \sqrt{b^2 - 2ab + 1}}{a}[/m]; [m]y1= \frac{1 + \sqrt{b^2 - 2ab + 1}}{b}[/m]
[m]x2 = \frac{1 + \sqrt{b^2 - 2ab + 1}}{a}[/m]; [m]y2= \frac{1 - \sqrt{b^2 - 2ab + 1}}{b}[/m]
Все решения
{[m]\frac{b}{x}+ay=2ab [/m] умножаем на (-b)
{[m]a^2x+aby=2a[/m]
{[m]-\frac{b^2}{x}-aby=-2ab^2 [/m]
Складываем
[m]a^2x-\frac{b^2}{x}=2a-2ab^2 [/m]
[b]x ≠ 0[/b]
Получаем квадратное уравнение:
[m]a^2x^2-(2a-2ab^2)x-b^2=0[/m]
[m]D=(2a-2ab^2)^2+4a^2b^2=4a^2-8a^2b^2+4a^2b^4+4a^2b^2=4a^2-4a^2b^2+4a^2b^4=4a^2(b^4-b^2+1)[/m]
D ≥ 0