Задача 76022 ...
Условие
log3(x+1/x) + 2log9(x - 1) ≤ log3 (3x + 4) - log(27)x^6
Решение
Область определения функции логарифма:
{ x + 1/x > 0
{ x - 1 > 0
{ 3x + 4 > 0
{ x^6 > 0
x ∈ (1; +oo)
Заметим, что при этом x + 1/x > 2
Приведём все логарифмы к основанию 3. Для этого применим формулу:
[m]\log_{a}(b) = \frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)}[/m]
[m]2\log_9(x-1) = \frac{2\log_{3}(x-1)}{\log_{3}(9)} = \frac{2\log_{3}(x-1)}{2} = \log_{3}(x-1)[/m]
[m]\log_{27}(x^6) = \frac{\log_{3}(x^6)}{\log_{3}(27)} = \frac{6\log_{3}(x)}{3} = 2\log_{3}(x) = \log_{3}(x^2)[/m]
Получаем:
[m]\log_3(\frac{x^2+1}{x}) - \log_{3}(x-1) ≤ \log_3(3x+4) - \log_{3}(x^2)[/m]
По свойствам логарифмов, разность логарифмов равна логарифму дроби:
[m]\log_3(\frac{x^2+1}{x(x-1)}) ≤ \log_3(\frac{3x+4}{x^2})[/m]
Так как логарифмы с одинаковым основанием, можно от них избавиться.
Так как 3 > 1, то функция y = log_3(x) - возрастающая. Значит, при переходе знак неравенства остается:
[m]\frac{x^2+1}{x(x-1)} ≤ \frac{3x+4}{x^2}[/m]
[m]\frac{x^2+1}{x(x-1)} - \frac{3x+4}{x^2} ≤ 0[/m]
Приводим к общему знаменателю x^2(x - 1)
[m]\frac{(x^2+1)x}{x^2(x-1)} - \frac{(3x+4)(x-1)}{x^2(x-1)} ≤ 0[/m]
[m]\frac{x^3+x - 3x^2 - x + 4}{x^2(x-1)} ≤ 0[/m]
[m]\frac{x^3- 3x^2 + 4}{x^2(x-1)} ≤ 0[/m]
[m]\frac{x^3 + x^2 - 4x^2 - 4x + 4x + 4}{x^2(x-1)} ≤ 0[/m]
[m]\frac{(x + 1)(x^2 - 4x + 4)}{x^2(x-1)} ≤ 0[/m]
[m]\frac{(x + 1)(x-2)^2}{x^2(x-1)} ≤ 0[/m]
По области определения x ∈ (1; +oo), но заметим сразу,
что x = 2 - подходит, при этом левая часть равна 0.
По методу интервалов имеем особые точки: 1 и 2. Остальные нам неважны.
Они делят числовую прямую на промежутки:
(1; 2]; (2; +oo)
Подставляем любое число, например, 3 и получаем:
[m]\frac{(3 + 1)(3-2)^2}{3^2(3-1)} = \frac{4 \cdot 1}{9 \cdot 2} > 0[/m]
Промежуток (2; +oo) нам не подходит.
А промежуток (1; 2] подходит.
Ответ: x ∈ (1; 2]